Integrale con residuo

[Primavera2]

Salve a tutti, scrivo per dei problemi che mi sta dando quest'integrale nella sua risoluzione:

$ int_(-oo )^(0) ( cos(pix))/(1-4x^2) $

Mi viene chiesto di risolverlo usando il teorema dei residui.
La prima cosa che mi viene in mente da fare è utilizzare la formula di eulero per il coseno quindi

$ 1/2 int_(-oo )^(0) ( e^(ipix)+e^(-ipix))/(1-4x^2) $ e da qui poi posso dividerlo in 2 integrali e fare i residui di ognuno

$ 1/2 int_(-oo )^(0)( e^(ipiz))/((1-2z)(1+2z)) + 1/2 int_(-oo )^(0) ( e^(-ipiz))/((1-2z)(1+2z)) $

nei poli $ z=+-1/2 $

entrambi i residui dei due integrali mi vengono però

$ ipicos(pi/2x) $

e il risultato dovrebbe essere $ pi/4 $ secondo wolfram alpha

Dov'è che sbaglio???

[Primavera2]

Nessuno riesce ad aiutarmi?

[ciampax]

C'è una cosa che non mi torna: i residui sono numeri. A te vengono fuori delle funzioni. Come è possibile?

[Primavera2]

Allora si mi pare di aver sbagliato a scrivere la $ x $ nel coseno. Comunque riporto i passaggi dei miei conti:
Per il primo integrale:

$ 2ipi 1/2(lim_(z -> 1/2) (e^(ipiz))/(1+2z) + lim_(z -> -1/2) (e^(ipiz))/(1-2z))= ipi((e^((ipi)/2))/(2)+(e^(-(ipi)/2))/(2)) = ipicos(pi/2)$

quindi dovrebbe essere zero.

Per il secondo invece:

$ 2ipi 1/2(lim_(z -> 1/2) (e^(-ipiz))/(1+2z) + lim_(z -> -1/2) (e^(-ipiz))/(1-2z))= ipi((e^(-(ipi)/2))/(2)+(e^((ipi)/2))/(2)) = ipicos(pi/2)$

quindi anche questo zero quando il risultato dovrebbe essere $pi/4$

[Primavera2]

è tutto corretto?

[gugo82]

Chiederti di aspettare 24 prima di uppare è proprio chiedere troppo, eh...

Ad ogni modo, non è difficile rendersi conto che l'integrale che vuoi calcolare è uguale a:
\[
\frac{1}{2}\ \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos (\pi x)}{1-4x^2}\ \text{d} x
\]
e che l'ultimo integrale è la parte reale di:
\[
\frac{1}{2}\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp (\imath\ \pi x)}{1-4x^2}\ \text{d} x\; ,
\]
perciò ti conviene usare come integrando complesso la funzione \(\frac{\exp (\imath\ \pi z)}{1-4z^2}\) ed integrarla lungo un opportuno contorno che lasci fuori i poli (per fare ciò dovrai usare i teoremi dei residui ed i lemmi di Jordan).

[Primavera2]

Ah nn ci avevo pensato grazie, quindi praticamente essendo la parte reale dovrei integrare sulla semicirconferenza del I e II quadrante, ed escludere di conseguenza i poli in -1/2 e 1/2 giusto?

[gugo82]

"Primavera":Ah nn ci avevo pensato grazie, quindi praticamente essendo la parte reale dovrei integrare sulla semicirconferenza del I e II quadrante

Sì, devi integrare lì... Ma non perchè quella è una parte reale.

Quindi, perchè?

"Primavera":ed escludere di conseguenza i poli in -1/2 e 1/2 giusto?

Certo.
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
dot([0.5,0]); dot([-0.5,0]);
stroke="red"; strokewidth=2; arc([2,0],[-2,0],2); line([-2,0],[-0.6,0]); arc([-0.4,0],[-0.6,0],0.1); line([-0.4,0],[0.4,0]); arc([0.6,0],[0.4,0], 0.1); line([0.6,0],[2,0]);[/asvg]
Però ricordati di applicare i lemmi di Jordan.

[Primavera2]

Ok grazie, quindi come imposteresti la risoluzione? Cioè con il lemma di jordan l'integrale lungo l'arco di circonferenza dovrebbe essere zero e dovrei calcolare i due tratti da -2 a 2, ma perchè il cerchio ha raggio 2 anzichè 1?

[gugo82]

"Primavera":Ok grazie, quindi come imposteresti la risoluzione? Cioè con il lemma di jordan l'integrale lungo l'arco di circonferenza dovrebbe essere zero e dovrei calcolare i due tratti da -2 a 2, ma perchè il cerchio ha raggio 2 anzichè 1?

So che è scortese rispondere ad una domanda con un'altra domanda, ma se poni una questione del genere sono naturalmente portato a chiederti se hai capito perchè si sceglie un contorno con i raggi variabili (come in figura, che era puramente illustrativa come quelle usate sui testi) e come si usano i lemmi di Jordan...