Integrale con residui

[Capissimo]

devo risolvere il seguente integrale con i residui.
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac {(sinx)^ 2}{(x^2+1)^2}dx[/tex]
facendo le scomposizioni alla fine mi trovo
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac {1-cos2x}{2(1+x^2)^2}dx[/tex]

la funzione ausiliaria è [tex]f(z)=\frac{1-e^{2zj}}{2(1+z^2)^2}[/tex]
il problema è che nella ricerca dei poli mi risulta che j (unico polo con parte Immaginaria positiva) è polo doppio ma io posso considerare solo poli semplici. come faccio???

[Seneca1]

Perché puoi considerare solo poli semplici?

EDIT: Le cose si semplificano molto se integri per parti.

[Capissimo]

ero convinta che potessi utilizzare i poli solo se semplici ma poi sono andata a controllare ed è così solo nel senso del valore principale. proverò cmq anche integrando per parti

[Seneca1]

Beh, guarda, integrando per parti ti ritrovi:

$int_(-R)^(R) (sin^2(x))/(x^2 + 1)^2 dx = [ - sin^2(t) * ( 1 + t^2 ) ]_(-R)^R + int_(-R)^(R) (sin(2x))/(1 + x^2) dx$

Per $R -> +oo$ , $int_(-oo)^(+oo) (sin^2(x))/(x^2 + 1)^2 dx = int_(-oo)^(+oo) (sin(2x))/(1 + x^2) dx$.