Integrale con residui
Salve a tutti, sono appena iscritto al forum per sottoporvi una tipologia di integrale con i residui che proprio non riesco a risolvere, spero possiate aiutarmi..
Un esempio è questo:
$ int_(|z-j|=1) sin(z/(z-j)) dz $
Grazie a tutti!
Un esempio è questo:
$ int_(|z-j|=1) sin(z/(z-j)) dz $
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao, potresti provare a scrivere l'integranda come (usando la formula formula di Newton per il binomio)
$\sin(z/(z-j)) =\sin(1+j/(z-j)) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k/{(2k+1)!} (1+j/(z-j))^(2k+1) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{m=0}^{2k+1} (-1)^k/{(2k+1)!} ((2k+1),(m)) j^m/(z-j)^m$
Da qui dovresti riuscire a calcolare il residuo nel punto $j$
$\sin(z/(z-j)) =\sin(1+j/(z-j)) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k/{(2k+1)!} (1+j/(z-j))^(2k+1) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{m=0}^{2k+1} (-1)^k/{(2k+1)!} ((2k+1),(m)) j^m/(z-j)^m$
Da qui dovresti riuscire a calcolare il residuo nel punto $j$
Ciao e grazie per la risposta, anche se non credo la strada sia questa, solo perchè non credo che la formula di newton sia nel programma.
Visto che sei stato cosi gentile però, vorrei sottoportene un altro che credo d' aver risolto ( più o meno ) ma vorrei una conferma:
$int_(|z-j/2|=1) [1/zcos(1/z) + (e^z-1)/(z^5+2z^3+z)]$
L' integrale lo posso ovviamente scomporre in due integrali e calcolarli con (credo) il teorema dei residui.
Ovviamente il percorso di integrazione è la circonferenza di centro (0,1/2) e raggio 1
il primo integrale $ cos(1/z)/z $ ( lo chiamerò f1 ) ha una singolarità in zero, che è all' interno della circonferenza:
Posso calcolare il residuo di $ 1/zcos(1/z) $ sviluppando in serie di laurent e prendendo il coefficiente c-1 dello sviluppo?
$ cos(1/z)/z $ = $1/z - (z^-1)/(2!) + z^(-3)/(4!)+ ...$ il residuo che cerco è dunque il coefficiente del termine $(z^-1)(1-1/(2!))$ , cioè $1/2$, il valore dell' integrale sarà quindi $pij$, giusto??
Per quanto riguarda il secondo pezzo:$(e^z-1)/(z^5+2z^3+z)$ (Che chiamerò f2) ho tre poli, dei quali solo due all' interno della circonferenza: z=0 del primo ordine e z=j del secondo ordine
Tutto l' integrale è dato dunque da $ 2pij(R(f1,0) + R(f2,0) + R(f2,j)) $
Ho detto bene, ho ho scritto un mocchio di scemenze?
Visto che sei stato cosi gentile però, vorrei sottoportene un altro che credo d' aver risolto ( più o meno ) ma vorrei una conferma:
$int_(|z-j/2|=1) [1/zcos(1/z) + (e^z-1)/(z^5+2z^3+z)]$
L' integrale lo posso ovviamente scomporre in due integrali e calcolarli con (credo) il teorema dei residui.
Ovviamente il percorso di integrazione è la circonferenza di centro (0,1/2) e raggio 1
il primo integrale $ cos(1/z)/z $ ( lo chiamerò f1 ) ha una singolarità in zero, che è all' interno della circonferenza:
Posso calcolare il residuo di $ 1/zcos(1/z) $ sviluppando in serie di laurent e prendendo il coefficiente c-1 dello sviluppo?
$ cos(1/z)/z $ = $1/z - (z^-1)/(2!) + z^(-3)/(4!)+ ...$ il residuo che cerco è dunque il coefficiente del termine $(z^-1)(1-1/(2!))$ , cioè $1/2$, il valore dell' integrale sarà quindi $pij$, giusto??
Per quanto riguarda il secondo pezzo:$(e^z-1)/(z^5+2z^3+z)$ (Che chiamerò f2) ho tre poli, dei quali solo due all' interno della circonferenza: z=0 del primo ordine e z=j del secondo ordine
Tutto l' integrale è dato dunque da $ 2pij(R(f1,0) + R(f2,0) + R(f2,j)) $
Ho detto bene, ho ho scritto un mocchio di scemenze?
Il ragionamento mi sembra giusto, però mi pare ci sia un errorino nel calcolo del residuo di $z \mapsto 1/z cos(1/z)$ in $z = 0$.
Hai $1/z \cos(1/z) = 1/z(1 - 1/(2z^2) + ...) = 1/z - 1/(2z^3) + ...$, quindi il coefficiente che moltiplica $1/z$ è $1$
Hai $1/z \cos(1/z) = 1/z(1 - 1/(2z^2) + ...) = 1/z - 1/(2z^3) + ...$, quindi il coefficiente che moltiplica $1/z$ è $1$
Sisi, vero, come mio solito ho moltiplicato un pò per z ed un pò per 1/z, a quanto pare ho uno spiccato senso della parcondicio...
Grazie!
Grazie!
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