Integrale con Residui
Salve a tutti, devo risolvere questo integrale usando i residui..l'integrale in questione è:
$int_{0}^{+oo} (dx/(x^6+4))
Noto che la funzione è pari, quindi riscrivo il tutto come: $1/2*int_{-oo}^{+oo} (dx/(x^6+4))
Dopodichè considero la $f(z)=1/(z^6+4)$ e mi trovo gli zeri ponendo $z^6+4=0$.
Da quì non sono più totalmente sicuro su come proseguire:
ricordando che $z=(-1)^(1/n)=(e^(jpi))^(1/n)$, ho scritto:
$z=(-4)^(1/6)=(4e^(jpi))^(1/6)=4e^(j(pi+2kpi)/6); k=0,1,...5; k in Z
A questo punto ho trovato gli $z_k$; ora dovrei procedere usando la classico formula secondo cui l'integrale sarebbe uguale a
$2jpi*$somma dei residui?
Grazie per l'aiuto
$int_{0}^{+oo} (dx/(x^6+4))
Noto che la funzione è pari, quindi riscrivo il tutto come: $1/2*int_{-oo}^{+oo} (dx/(x^6+4))
Dopodichè considero la $f(z)=1/(z^6+4)$ e mi trovo gli zeri ponendo $z^6+4=0$.
Da quì non sono più totalmente sicuro su come proseguire:
ricordando che $z=(-1)^(1/n)=(e^(jpi))^(1/n)$, ho scritto:
$z=(-4)^(1/6)=(4e^(jpi))^(1/6)=4e^(j(pi+2kpi)/6); k=0,1,...5; k in Z
A questo punto ho trovato gli $z_k$; ora dovrei procedere usando la classico formula secondo cui l'integrale sarebbe uguale a
$2jpi*$somma dei residui?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Le radici seste di $-4$ sono $z_k = root(3)(2) e^{j \frac{-\pi+2 k \pi}{6}}$, $k=0,\ldots,5$.
Puoi usare il metodo dei residui integrando lungo la curva chiusa $[-R,R]\cup C_R^+$, dove $C_R^+$ è la semicirconferenza superiore centrata nell'origine e di raggio $R$.
Per $R$ abbastanza grande solo 3 poli sono interni al circuito ($z_1, z_2, z_3$ nelle mie notazioni); l'integrale su tale circuito (percorso in senso antiorario) vale quindi
$2\pi j \sum_{k=1}^3 Res(f, z_k)$.
Poi, come al solito, devi mandare $R\to +\infty$; il contributo dell'integrale di linea su $C_R^+$ tende a zero.
Puoi usare il metodo dei residui integrando lungo la curva chiusa $[-R,R]\cup C_R^+$, dove $C_R^+$ è la semicirconferenza superiore centrata nell'origine e di raggio $R$.
Per $R$ abbastanza grande solo 3 poli sono interni al circuito ($z_1, z_2, z_3$ nelle mie notazioni); l'integrale su tale circuito (percorso in senso antiorario) vale quindi
$2\pi j \sum_{k=1}^3 Res(f, z_k)$.
Poi, come al solito, devi mandare $R\to +\infty$; il contributo dell'integrale di linea su $C_R^+$ tende a zero.
"Rigel":
Le radici seste di $-4$ sono $z_k = root(3)(2) e^{j \frac{-\pi+2 k \pi}{6}}$, $k=0,\ldots,5$.
Puoi usare il metodo dei residui integrando lungo la curva chiusa $[-R,R]\cup C_R^+$, dove $C_R^+$ è la semicirconferenza superiore centrata nell'origine e di raggio $R$.
Per $R$ abbastanza grande solo 3 poli sono interni al circuito ($z_1, z_2, z_3$ nelle mie notazioni); l'integrale su tale circuito (percorso in senso antiorario) vale quindi
$2\pi j \sum_{k=1}^3 Res(f, z_k)$.
Poi, come al solito, devi mandare $R\to +\infty$; il contributo dell'integrale di linea su $C_R^+$ tende a zero.
ok, sono d'accordo con te, però volevo porti qualche domanda per risolvere qualche dubbio mio:
1)consideriamo solo $z_1, z_2, z_3$ perchè solo questi si trovano nella semicirconferenza "chiusa verso l'alto"?
2)in generale, come faccio a capire se una singolarità si trova sul cammino d'integrazione?
"guybrush1989":[/quote]
[quote="Rigel"]
1)consideriamo solo $z_1, z_2, z_3$ perchè solo questi si trovano nella semicirconferenza "chiusa verso l'alto"?
2)in generale, come faccio a capire se una singolarità si trova sul cammino d'integrazione?
1) Sì, devi considerare solo i poli "racchiusi" dal cammino (chiuso) di integrazione.
2) Se disegni il cammino e i poli lo dovresti capire.
"Rigel":
2) Se disegni il cammino e i poli lo dovresti capire.
ecco, ho un esercizio in cui ho da risolvere un integrale lungo la circonferenza $|z|=1$, e la funzione che devo integrare mi dà come singolarità $-1/2+-jsqrt(3)/2$
Questi 2 poli di ordine 1 si trovano sulla circonferenza (c'è scritto così sulla dispensa), però non riesco a capire in base a cosa lo affermi.
p.s.: la $f(z)=1/(z^2+z+1)
Lo capisci per il fatto che se calcoli $|z|$, con $z=-\frac{1}{2}\pm j\frac{\sqrt{3}}{2}$, ottieni $1$.
"Rigel":
Lo capisci per il fatto che se calcoli $|z|$, con $z=-\frac{1}{2}\pm j\frac{\sqrt{3}}{2}$, ottieni $1$.
giusto, non c'avevo pensato proprio
ti ringrazio per la pazienza e per l'aiuto
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