Integrale con residui

[pinkfloydian]

Salve a tutti, ho un dubbio circa lo svolgimento di un esercizio. Ho:

$int_(-oo)^(oo) 4x^3arctan(x)/(x^8+2x^4+1) dx $

Ho provato a farlo sostituendo $x^4=y$ e ottenendo l'integrale:

$int_(-oo)^(oo) arctanroot(4)(y)/(z+1)^2 dy=pijRes[f(z),-1]=-jpi/(4sqrt(2))$

Ma non mi trovo con il risultato (deve venire $pi/2$) e poi non sono tanto sicuro possa venire una soluzione complessa

[Studente Anonimo]

Premesso che il valore dell'integrale deve essere reale e che il cambiamento di variabile adottato non ne semplifica sostanzialmente il calcolo, meglio liberarsi della funzione goniometrica inversa integrando per parti:

$int_(-oo)^(+oo)arctgx*(4x^3)/(x^8+2x^4+1)dx=int_(-oo)^(+oo)arctgx*(4x^3)/(x^4+1)^2dx=int_(-oo)^(+oo)1/((x^4+1)(x^2+1))dx$

In questo modo, la funzione integranda presenta sei poli del primo ordine, singolarità senza dubbio più semplici di quelle presentate dalla funzione iniziale. Chiudendo il percorso nel semipiano superiore, è sufficiente calcolare i residui nei poli appartenenti al semipiano medesimo, $[z_1=sqrt2/2+isqrt2/2] ^^ [z_2=-sqrt2/2+isqrt2/2] ^^ [z_3=i]$:

$Res[f(z),z_1]=lim_(z->z_1)f(z)(z-z_1)=lim_(z->z_1)1/((z+z_1)(z^2+i)(z^2+1))=-sqrt2/8$

$Res[f(z),z_2]=lim_(z->z_2)f(z)(z-z_2)=lim_(z->z_2)1/((z+z_2)(z^2-i)(z^2+1))=sqrt2/8$

$Res[f(z),z_3]=lim_(z->z_3)f(z)(z-z_3)=lim_(z->z_3)1/((z^4+1)(z+z_3))=-i/4$

In definitiva:

$int_(-oo)^(+oo)arctgx*(4x^3)/(x^8+2x^4+1)dx=2\pii(-sqrt2/8+sqrt2/8-i/4)=\pi/2$