Integrale Con Residui
Salve a tutti, sto facendo esercizi per un esame di metodi matematici e ho qualche difficoltà nel risoluzione di questo esercizio:
$ int _(+partialD) (cos ((3pi)/2z))/((z^2 +4j)(sin^2(piz)) )dz $ dove $ D={z\in \mathbb{C} : |z|<5/2} $
La difficoltà principale è nel calcolo dei residui nei punti $ z_1=2*e^(j3/4 pi) $ e $ z_2=2*e^(j7/4 pi) $
Spero che qualcuno possa aiutarmi!
$ int _(+partialD) (cos ((3pi)/2z))/((z^2 +4j)(sin^2(piz)) )dz $ dove $ D={z\in \mathbb{C} : |z|<5/2} $
La difficoltà principale è nel calcolo dei residui nei punti $ z_1=2*e^(j3/4 pi) $ e $ z_2=2*e^(j7/4 pi) $
Spero che qualcuno possa aiutarmi!
Risposte
Qual è il problema che riscontri nel calcolarli? Intanto hai determinato la molteplicità di quei poli?
Allora adesso provo a risolverlo in modo che ti faccio vedere dove mi blocco.
Inizio a semplificare il seno al quadrato al denominatore
$ sin^2(piz)=1/2 (1-cos(2piz)) $
lo sostituisco nell'integrale e ottengo
$ 2int _(+partialD) (cos ((3pi)/2z))/((z^2 +4j)(1-cos(2piz)) )dz $
a questo punto trovo le singolarità del denominatore:
$ (z^2 +4j) $ ha due radici $ z_1=2*e^(j3/4 pi) $ e $z_2=2*e^(j7/4 pi)$
poi $ (1-cos(2piz))=0 $ quando $ cos(2piz)=1 $ cioè quando $ 2piz=2kpi=>z=k $ con $ k\in mathbb(Z) $
in questo caso siccome l'integrale è esteso ad una circonferenza con centro in $0$ e raggio $5/2$ devo prendere tutte le singolarità che sono contenute all'interno di questa circonferenza.
Per cui $ z={-2,-1,0,1,2} $ sono tutte singolarità di molteplicità 2 interne a $D$, tutte le altre sono esterne alla circonferenza.
Adesso analizzo le singolarità al numeratore:
$ cos((3pi)/2z)=0 $ quando $ (3pi)/2z=(pi/2 +kpi)=> z=(2k+1)/3 $
anche in quest'altro caso le singolarità che devo prendere sono quelle che sono all'interno della circonferenza.
Per cui $ z={-7/3,-5/3,-1,-1/3, 1/3,1,5/3,7/3} $ sono tutti zeri di ordine 1 interni a $D$ gli altri cadono all'esterno.
Bene. Ora per determinare le molteplicità dei poli osservo che numeratore e denominatore hanno alcune singolarità in comune. Dunque i poli totale della funzione sono: $ z={2*e^(j3/4 pi), 2*e^(j7/4 pi), -1, 1} $ poli semplici e $z={-2,0,2}$ poli con molteplicità 2.
Fin qui non ci sono problemi, il problema sovviene nel momento in cui voglio calcolare il residuo nei 2 punti $ z={2*e^(j3/4 pi), 2*e^(j7/4 pi)} $
Per definizione il residuo nel polo semplice si calcola come:
$ Res_(f(z)) (z_0)=lim_(z -> z_0) (z-z_0)f(z) $
Nel caso in cui $z_0$ sono le radici complesse (ad esempio $ z_0 = 2*e^(j3/4 pi) $) verrebbe:
$ Res_(f(z)) (2*e^(j3/4 pi))=lim_(z -> 2*e^(j3/4 pi)) (z-2*e^(j3/4 pi))(cos ((3pi)/2z))/((z-2*e^(j7/4 pi))(z-2*e^(j3/4 pi))(1-cos(2piz)) $
Ecco, come svolgo questo limite?
Inizio a semplificare il seno al quadrato al denominatore
$ sin^2(piz)=1/2 (1-cos(2piz)) $
lo sostituisco nell'integrale e ottengo
$ 2int _(+partialD) (cos ((3pi)/2z))/((z^2 +4j)(1-cos(2piz)) )dz $
a questo punto trovo le singolarità del denominatore:
$ (z^2 +4j) $ ha due radici $ z_1=2*e^(j3/4 pi) $ e $z_2=2*e^(j7/4 pi)$
poi $ (1-cos(2piz))=0 $ quando $ cos(2piz)=1 $ cioè quando $ 2piz=2kpi=>z=k $ con $ k\in mathbb(Z) $
in questo caso siccome l'integrale è esteso ad una circonferenza con centro in $0$ e raggio $5/2$ devo prendere tutte le singolarità che sono contenute all'interno di questa circonferenza.
Per cui $ z={-2,-1,0,1,2} $ sono tutte singolarità di molteplicità 2 interne a $D$, tutte le altre sono esterne alla circonferenza.
Adesso analizzo le singolarità al numeratore:
$ cos((3pi)/2z)=0 $ quando $ (3pi)/2z=(pi/2 +kpi)=> z=(2k+1)/3 $
anche in quest'altro caso le singolarità che devo prendere sono quelle che sono all'interno della circonferenza.
Per cui $ z={-7/3,-5/3,-1,-1/3, 1/3,1,5/3,7/3} $ sono tutti zeri di ordine 1 interni a $D$ gli altri cadono all'esterno.
Bene. Ora per determinare le molteplicità dei poli osservo che numeratore e denominatore hanno alcune singolarità in comune. Dunque i poli totale della funzione sono: $ z={2*e^(j3/4 pi), 2*e^(j7/4 pi), -1, 1} $ poli semplici e $z={-2,0,2}$ poli con molteplicità 2.
Fin qui non ci sono problemi, il problema sovviene nel momento in cui voglio calcolare il residuo nei 2 punti $ z={2*e^(j3/4 pi), 2*e^(j7/4 pi)} $
Per definizione il residuo nel polo semplice si calcola come:
$ Res_(f(z)) (z_0)=lim_(z -> z_0) (z-z_0)f(z) $
Nel caso in cui $z_0$ sono le radici complesse (ad esempio $ z_0 = 2*e^(j3/4 pi) $) verrebbe:
$ Res_(f(z)) (2*e^(j3/4 pi))=lim_(z -> 2*e^(j3/4 pi)) (z-2*e^(j3/4 pi))(cos ((3pi)/2z))/((z-2*e^(j7/4 pi))(z-2*e^(j3/4 pi))(1-cos(2piz)) $
Ecco, come svolgo questo limite?
Ho controllato i conti un po' velocemente, ma a occhio mi sembrano giusti.
Per il limite, basta calcolare $\lim_z \frac{cos(3/2 \pi z)}{(z-2 e^{i7/4 pi})(1-\cos(2\pi z))}$ e questo lo sai fare perché la funzione è continua nel punto in cui devi calcolarlo. Ma credo che fin qui ci eri arrivato. Forse la tua perplessità deriva dal fatto che ti viene qualcosa scritto in maniera complicata?
Potresti provare a semplificare un po' il risultato, tenendo conto del fatto che:
$e^{i7/4\pi}=\sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2$
$e^{i3/4\pi}=-\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2$
I coseni puoi riscriverli tramite l'esponenziale invece.
Credo che venga comunque abbastanza bruttino.
Per il limite, basta calcolare $\lim_z \frac{cos(3/2 \pi z)}{(z-2 e^{i7/4 pi})(1-\cos(2\pi z))}$ e questo lo sai fare perché la funzione è continua nel punto in cui devi calcolarlo. Ma credo che fin qui ci eri arrivato. Forse la tua perplessità deriva dal fatto che ti viene qualcosa scritto in maniera complicata?
Potresti provare a semplificare un po' il risultato, tenendo conto del fatto che:
$e^{i7/4\pi}=\sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2$
$e^{i3/4\pi}=-\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2$
I coseni puoi riscriverli tramite l'esponenziale invece.
Credo che venga comunque abbastanza bruttino.
ok, purtroppo non c'è la possibilità di semplificare questo "obbrobrio" quindi mi arrendo, ma passando agli altri residui, non riesco a calcolarli. Ho applicato De l'Hospital ma dopo averlo usato un paio di volte sembra di ritornare al punto di partenza...
come li posso risolvere senza fare calcoli infiniti?
poi ci sarebbe un'altra domanda: cercando i poli con wolfram quelli in -1 e 1 non me li porta (cioè quelli che sono diventati poli semplici), perché?
come li posso risolvere senza fare calcoli infiniti?
poi ci sarebbe un'altra domanda: cercando i poli con wolfram quelli in -1 e 1 non me li porta (cioè quelli che sono diventati poli semplici), perché?
qualcuno è riuscito a capire il perchè della differenza dei poli calcolati con wolfram e quelli trovati da me a mano?
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