Integrale con radice al denominatore: un metodo veloce

[subseven]

Ciao a tutti.
Oggi, dopo parecchio tempo, ho ripreso alcuni esercizi di Analisi Matematica, in particolare riguardanti gli integrali.

Mi sono imbattuto su un esercizio apparentemente semplice, ma al quale non riesco in alcun modo ad arrivare ad una soluzione!

\(\displaystyle \int \frac{1}{(a^2+l^2)^\frac{3}{2}} dl \)


Ho provato con sostituzione, ma non arrivo a nulla.
Ho provato a vedere cosa ne pensa Wolframaplha, ma mi propone un procedimento che neanche ho capito, mettendo in mezzo la secante.

Qualcuno ha proposte?

[Lo_zio_Tom]

[strike]sì passerei anche io dalla secante...[/strike]


basta riscrivere l'integrale così:

$int1/sqrt((a^2+l^2)^3)dl=int1/sqrt((a^2+l^2))\cdot1/(a^2+l^2)dl$

$1/a^2int1/sqrt(1+(l/a)^2)\cdot1/(1+(l/a)^2)d(l/a)$

poni $y=arctan(l/a)$

$dy=1/(1+(l/a)^2)d(l/a)$

quindi vale anche

$l/a=tany$

il che significa che

$1/(1+(l/a)^2)=1/(1+tan^2y)=1/(d/(dy)tany)=cos^2y$

quindi il tuo integrale si riduce a $1/a^2intcosydy=1/a^2seny=1/a^2\cdot(l/a)/(sqrt(1+(l/a)^2))=l/(a^2sqrt(a^2+l^2))+C$

ed è finito...senza fare alcun conto

[subseven]

Grazie per la risposta. Potresti, allora, spiegarmi come utilizzare la secante?