Integrale con radice
Salve ragazzi! Non riesco a capire come mai il mio libro risolva l'integrale
$\int 1/(sqrt(x^2-1)) dx$
in $\ln |x+(sqrt(x^2-1))| +c$... In base a quali semplificazioni? Grazie
$\int 1/(sqrt(x^2-1)) dx$
in $\ln |x+(sqrt(x^2-1))| +c$... In base a quali semplificazioni? Grazie
Risposte
Hai provato la sostituzione [tex]x = \cosh(t)[/tex]?
Il coseno iperbolico non l'abbiamo affrontato al corso di analisi... Non so se è per quello...
Beh, prova. La definizione è [tex]\cosh(t) = \frac{e^t+e^{-t}}{2}[/tex]. Inoltre [tex]\sinh(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}[/tex], sicché [tex]\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1[/tex]. Questo dovrebbe bastarti (il resto è un buon esercizio).
In alternativa puoi usare la sostituzione [tex]$\sqrt{x^2-1}=t-x$[/tex].
Ah, già! Me la dimentico sempre... la odio profondamente. Non è "naturale" come l'altra: quel [tex]x^2-1[/tex] fa pensare spontaneamente a [tex]\cosh^2(t) - 1 = \sinh^2(t)[/tex]...
Va beh, trucchi mnemonici a parte, è la stessa cosa!
Va beh, trucchi mnemonici a parte, è la stessa cosa!
La sostituzione $\sqrt{x^2-1}=t-x$? E che senso avrebbe? :S Forse volevi scrivere $\sqrt{x^2-1}=t$?
"NickInter":
La sostituzione $\sqrt{x^2-1}=t-x$? E che senso avrebbe? :S Forse volevi scrivere $\sqrt{x^2-1}=t$?
No, nickinter, volevo scrivere quello che ho scritto! Se invece di fare dello spirito facessi due conti e provassi a controllare cosa viene fuori in quell'integrale, non andresti a scrivere post inutili come il tuo precedente!
Sai com è, non penso che ci siano tanti Dei in giro da non poter commettere errori... Ma vabbeh, da oggi ricorderò che, in fondo, "anche gli dei possono sanguinare!" [cit. Leonida]
"NickInter":
Sai com è, non penso che ci siano tanti Dei in giro da non poter commettere errori... Ma vabbeh, da oggi ricorderò che, in fondo, "anche gli dei possono sanguinare!" [cit. Leonida]
Dei no.... docenti di Analisi che sanno quello che scrivono quando danno suggerimenti agli studenti sul forum di matematica, sì!
@NickInter: Non è colpa di chi scrive se tu non hai dei buoni testi di Analisi I o se, pur avendoli, non li hai mai sfogliati, di modo che la sostituzione [tex]$\sqrt{x^2-1}=t-x$[/tex] ti pare non aver senso.
Quindi cerca di apprezzare di più l'aiuto che ti viene dato, altrimenti lascia perdere questo foro.
P.S.: Usi la retorica di Sparta (seppur ricostruita al modo americano da Miller)... Ma gli spartani non erano tipetti da chiedere aiuto ad altri; quindi mi sa che non si addice alla situazione.
[mod="gugo82"]Detto ciò, ricordo che i flame non sono tollerati.[/mod]
Quindi cerca di apprezzare di più l'aiuto che ti viene dato, altrimenti lascia perdere questo foro.
P.S.: Usi la retorica di Sparta (seppur ricostruita al modo americano da Miller)... Ma gli spartani non erano tipetti da chiedere aiuto ad altri; quindi mi sa che non si addice alla situazione.
[mod="gugo82"]Detto ciò, ricordo che i flame non sono tollerati.[/mod]
"maurer":
Ah, già! Me la dimentico sempre... la odio profondamente. Non è "naturale" come l'altra: quel [tex]x^2-1[/tex] fa pensare spontaneamente a [tex]\cosh^2(t) - 1 = \sinh^2(t)[/tex]...
Va beh, trucchi mnemonici a parte, è la stessa cosa!
Scusate se mi intrometto nella discussione, ma la sostituzione con le funzioni iperboliche perchè non va bene?
Non è che non va bene... sono alternative... io personalmente preferisco la sostituzione con le funzioni iperboliche per pure questioni mnemoniche.
Non ho detto che non vada bene, anzi, io uso e spiego a lezione quella. Ma se in un corso non vengono affrontate le sostituzioni iperboliche, allora meglio fornire l'alternativa, no?
E poi vorrei precisare una cosa: se ho risposto nel modo che ho fatto ad internick alla sua osservazione sul "poco senso" del mio suggerimento, non è certo perché mi sono sentito offeso (come lui avrà pensato): semplicemente, se lui stesso afferma che non hanno definito le funzioni iperboliche mi sembra alquanto strano che allora non abbiano introdotto la regola per cui della sostituzione che ho posto io.
E poi vorrei precisare una cosa: se ho risposto nel modo che ho fatto ad internick alla sua osservazione sul "poco senso" del mio suggerimento, non è certo perché mi sono sentito offeso (come lui avrà pensato): semplicemente, se lui stesso afferma che non hanno definito le funzioni iperboliche mi sembra alquanto strano che allora non abbiano introdotto la regola per cui della sostituzione che ho posto io.
Nessuno ha mai dubitato di questo, ciampax!
"maurer":
Non è che non va bene... sono alternative... io personalmente preferisco la sostituzione con le funzioni iperboliche per pure questioni mnemoniche.
Ho fatto l'esercizio e usando le funzioni iperboliche è una cavolata
D'accordo, ma io non posso sapere che chi mi risponde è un docente (ammesso che non commetta errori) e non considerare l'ipotesi che abbia sbagliato a scrivere (e non che "non sappia cosa scriva"..). Ma giusto perché non ho mai visto una sostituzione del genere, mi fido di chi ne sa più di me
io l' ho sempre fatto con $x=tg(t)$ così la radice se ne va
Vabbé, comunque non voglio dilungarmi su discussioni al di fuori dell'Analisi o cosa..
Ciampax, perché si adopera la posizione $\sqrt{x^2-1}=t-x$? Solamente non ho capito come faccia a risolversi, la cosa, introducendo un'altra variabile.. Puoi spiegarmelo?
p.s. si, infatti anche io ho un ricordo dell'anno scorso, del 5° scientifico, in cui usavo $x=tg(t)$... però essendo solo un ricordo, ho preferito chiedere consiglio qui
Ciampax, perché si adopera la posizione $\sqrt{x^2-1}=t-x$? Solamente non ho capito come faccia a risolversi, la cosa, introducendo un'altra variabile.. Puoi spiegarmelo?
p.s. si, infatti anche io ho un ricordo dell'anno scorso, del 5° scientifico, in cui usavo $x=tg(t)$... però essendo solo un ricordo, ho preferito chiedere consiglio qui
Se [tex]$\sqrt{x^2-1}=t-x$[/tex] allora [tex]$x^2-1=t^2-2xt+x^2$[/tex] da cui ricavi [tex]$x=\frac{t^2+1}{2t}$[/tex] e quindi puoi scrivere
[tex]$\sqrt{x^2-1}=\frac{t^2-1}{2t},\qquad dx=\frac{t^2-1}{2t^2}\ dt$[/tex]
[tex]$\sqrt{x^2-1}=\frac{t^2-1}{2t},\qquad dx=\frac{t^2-1}{2t^2}\ dt$[/tex]
Ok, grazie
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