Integrale con radice

[Genny_it]

Buon pomeriggio ragazzi, stavo svolgendo un esercizio sulle forme differenziali e mi sono bloccato su questo integrale:

$int (y^2/(x^2sqrt(x^2+y^2))) dy$
nn so proprio come risolverlo ho portato prima fuori dal segno di integrale $1/x^2$
poi ho fatto questa sostituzione:
$sqrt(x^2+y^2)=t$
da cui
$dy y/sqrt(x^2+y^2) = dt$
e
$y=sqrt(t^2-x^2)$

ed ho ottenuto (tralasciando $1/x^2$ ) questo:
$int (sqrt(t^2-x^2)) dt$
ma non so proprio come risolverlo, potreste aiutarmi ?

[Cesare34556]

Io partirei da $cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$

[Genny_it]

mai usato questo tipo di sostituzione, diversamente hai idee?

[Cesare34556]

prova con $t=xsec(z)$

[Genny_it]

fatto, vorrei solo capire da dove nasce la sostituzione

[Cesare34556]

Diciamo che a volte quando c'è una radice che ha come argomento una somma o differenza di termini al quadrato può essere d'aiuto effettuare sostituzioni che riconducano a relazioni trigonometriche note

[Genny_it]

ehm.. ok grazie

[dissonance]

Qual era l'esercizio sulle forme differenziali? Secondo me, se fossi passato da subito in coordinate polari le cose sarebbero state più semplici.

[lukixx]

ciao, io ne ho risolto uno mooolto simile senza le x ma il procedimento è praticamente lo stesso, infatti se vedi la funzione come prodotto di (y) * (y/radice) puoi vedere che con un fattore due la seconda funzione + la derivata della radice che a sua volta puoi vedere come polinomiale, dunque puoi risolvere per parti


EDIT: mi sono accorto che nn si capisce niente:

$ f'=y/(sqrt(x^2+y^2))-> f=1/4sqrt(x^2+y^2) $
$ g=y ->g'=1 $

da qui l'integrale successivo che dovrai svolgere lo puoi cercare online, è molto famoso ed è del tipo
$ int sqrt(x^2+y^2) dx $

[Genny_it]

"dissonance":Qual era l'esercizio sulle forme differenziali? Secondo me, se fossi passato da subito in coordinate polari le cose sarebbero state più semplici.

eccolo (scusa se rispondo ora)
$omega=y^2/(x^2sqrt(x^2+y^2))dx-y/(xsqrt(x^2+y^2))dy$
Determinare l'integrale che nel punto (1,1) assume il valore 0
Potresti essere più esplicito sul passaggio delle coordinate polari? mai usate per una forma differenziale

"lukixx":ciao, io ne ho risolto uno mooolto simile senza le x ma il procedimento è praticamente lo stesso, infatti se vedi la funzione come prodotto di (y) * (y/radice) puoi vedere che con un fattore due la seconda funzione + la derivata della radice che a sua volta puoi vedere come polinomiale, dunque puoi risolvere per parti


EDIT: mi sono accorto che nn si capisce niente:

$ f'=y/(sqrt(x^2+y^2))-> f=1/4sqrt(x^2+y^2) $
$ g=y ->g'=1 $

da qui l'integrale successivo che dovrai svolgere lo puoi cercare online, è molto famoso ed è del tipo
$ int sqrt(x^2+y^2) dx $

ottimo grazie

[dissonance]

Si, forse non è un buon suggerimento. Se usi le formule
\[
x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ dx=dr\cos\theta -r\sin\theta d\theta,\ dy=dr\sin\theta+r\cos\theta\,d\theta\]
a volte le forme differenziali hanno espressioni più semplici. Ma non mi pare il tuo caso.

[Genny_it]

"dissonance":Si, forse non è un buon suggerimento. Se usi le formule
\[
x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ dx=dr\cos\theta -r\sin\theta d\theta,\ dy=dr\sin\theta+r\cos\theta\,d\theta\]
a volte le forme differenziali hanno espressioni più semplici. Ma non mi pare il tuo caso.

Ah capito, vabbeh almeno adesso conosco un nuovo metodo per risolverle