Integrale con radice
Salve vorrei chiedervi un favore...
Sto provando da giorni a capire un procedimento per svolgere questo integrale, ma non so proprio come impostare il problema...
Siamo in campo complesso.
La funzione è
$ g(z) = e^(iz)/(z^(1/3))$
(EDIT: E' una radice cubica, non si capisce bene forse dalla scrittura perché il 3 non si vede. FINE EDIT)
Considerato come argomento principale della radice quello compreso fra $ ]-pi;pi[ $ calcolare l'integrale di $ g'(z) $ ( la derivata) lungo la circonferenza di centro l'origine e di raggio $ pi $ orientata in senso antiorario...
Come posso impostare la soluzione? Grazie in anticipo!
Sto provando da giorni a capire un procedimento per svolgere questo integrale, ma non so proprio come impostare il problema...
Siamo in campo complesso.
La funzione è
$ g(z) = e^(iz)/(z^(1/3))$
(EDIT: E' una radice cubica, non si capisce bene forse dalla scrittura perché il 3 non si vede. FINE EDIT)
Considerato come argomento principale della radice quello compreso fra $ ]-pi;pi[ $ calcolare l'integrale di $ g'(z) $ ( la derivata) lungo la circonferenza di centro l'origine e di raggio $ pi $ orientata in senso antiorario...
Come posso impostare la soluzione? Grazie in anticipo!
Risposte
Provo a dirvi cosa ho fatto...
La prima cosa è stata pensare al teorema di Cauchy, che dice che su una curva chiusa l'integrale di una funzione olomorfa è nullo. Ma non è così.
Dopodiché ho deciso di svolgere dei calcoli, ma non mi esce il risultato, quello che ho provato a fare è stato cambiare la radice di z e portarlo in forma esponenziale, dopodichè derivare rispetto all'angolo... Ma non riesco a fare anche perché la derivata esce non dico complicata, ma l'ordine della radice cresce.. e non so come gestire la cosa.. aiuto...
La prima cosa è stata pensare al teorema di Cauchy, che dice che su una curva chiusa l'integrale di una funzione olomorfa è nullo. Ma non è così.
Dopodiché ho deciso di svolgere dei calcoli, ma non mi esce il risultato, quello che ho provato a fare è stato cambiare la radice di z e portarlo in forma esponenziale, dopodichè derivare rispetto all'angolo... Ma non riesco a fare anche perché la derivata esce non dico complicata, ma l'ordine della radice cresce.. e non so come gestire la cosa.. aiuto...
Dato che nessuno risponde vi dico come ho continuato... Magari potete dirmi se sto facendo bene o almeno cosa sto sbagliando?
Poiché devo calcolare la derivata lungo una circonferenza, so che l'integrale di una derivata mi riporta alla funzione di partenza calcolata nel punto iniziale - il punto finale, quindi dovrei calcolarmi $ g(2pi)-g(0) $
E' corretto o sbagliato?
Poiché devo calcolare la derivata lungo una circonferenza, so che l'integrale di una derivata mi riporta alla funzione di partenza calcolata nel punto iniziale - il punto finale, quindi dovrei calcolarmi $ g(2pi)-g(0) $
E' corretto o sbagliato?
Vi prego aiutatemi ragazzi... è davvero urgente...
up
Puoi andare a vedere di la un secondo? Perchè non mi trovo col tuo ragionamento.
Detto questo, quello si risolve con il teorema dei residui, estendi l'integrale al dominio che dice lui, cioè il quarto di circonferenza, prendendo i 2 raggi. Ora sai che in quella corona circolare tra i 2 raggi, per cauchy l'integrale è nullo. Ora dividi l'integrale in 4 parti, 2 integrali sui 2 archi di circonferenza, che tenderanno a 0 per i lemmi di jordan/cerchi, poi ti rimane uno in x e uno in y, il quale avrà una i fuori l'integrale. A questo punto sostituisci la radice al denominatore con la sua espressione, dove sulle x hai argomento nullo, mentre sulle y hai argomento pi/2, fatto cioò, avrai un integrale e^ (-y) fratto (radice terza di y per e^ i pi/2 *1/3. Da qua porti la radice di y al numeratore e ti riconduci alla gamma, poi con semplici operazioni ti troverai i coefficienti radical 3 mezzi e 1/2 moltiplicati per la gamma. Ora scomponi l'integrale in e^ix in sin x + i cos x e uguagli le parti immaginarie e quelle reali.
Perdonami se ho scritto così ma non so scriverlo in formule sul forum...
Detto questo, quello si risolve con il teorema dei residui, estendi l'integrale al dominio che dice lui, cioè il quarto di circonferenza, prendendo i 2 raggi. Ora sai che in quella corona circolare tra i 2 raggi, per cauchy l'integrale è nullo. Ora dividi l'integrale in 4 parti, 2 integrali sui 2 archi di circonferenza, che tenderanno a 0 per i lemmi di jordan/cerchi, poi ti rimane uno in x e uno in y, il quale avrà una i fuori l'integrale. A questo punto sostituisci la radice al denominatore con la sua espressione, dove sulle x hai argomento nullo, mentre sulle y hai argomento pi/2, fatto cioò, avrai un integrale e^ (-y) fratto (radice terza di y per e^ i pi/2 *1/3. Da qua porti la radice di y al numeratore e ti riconduci alla gamma, poi con semplici operazioni ti troverai i coefficienti radical 3 mezzi e 1/2 moltiplicati per la gamma. Ora scomponi l'integrale in e^ix in sin x + i cos x e uguagli le parti immaginarie e quelle reali.
Perdonami se ho scritto così ma non so scriverlo in formule sul forum...
A parte la funzione gamma (grazie per avermelo detto), io dico l'altro integrale, c'è una domanda in cui il dominio su cui integrare è una circonferenza di raggio pi
(Le formule sul forum si scrivono mettendo i numeri all'interno dei due simboli del dollaro.
(Le formule sul forum si scrivono mettendo i numeri all'interno dei due simboli del dollaro.
Ah, quello nemmeno o ho capito come si fa... credo tu debba passare in coordinate polari o qualcosa del genere per svolgere l'integrale...
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