Integrale con potenza n-esima
Buongiorno a tutti,
ho delle difficoltà a svolgere un integrale, in particolare a calcolarne il residuo. Ho iniziato a svolgerlo così, effettuando la solita sostituzione $e^(jtheta)=z$:
$int_(0)^(2pi) (sintheta)^n dx=int_(0)^(2pi) ((e^(jtheta)-e^(-jtheta))/(2j))^n dx= int_(|z|=1) ((z^2-1)/(2jz))^ndz/(jz)$
A questo punto direi che $z=0$ è un polo di ordine $n+1$, quindi l'integrale è uguale a:
$I=2pijR[0]$
Quindi venendo al residuo:
$1/(n!)lim_(z -> 0) d^n/(dz^n) z^(n+1)/(jz)((z^2-1)/(2zj))^n=1/(n!)lim_(z -> 0) d^n/(dz^n) 1/j((z^2-1)/(2j))^n$
Qui iniziano i problemi, come posso scrivere la derivata n-esima di quel termine?
Grazie mille in anticipo!
ho delle difficoltà a svolgere un integrale, in particolare a calcolarne il residuo. Ho iniziato a svolgerlo così, effettuando la solita sostituzione $e^(jtheta)=z$:
$int_(0)^(2pi) (sintheta)^n dx=int_(0)^(2pi) ((e^(jtheta)-e^(-jtheta))/(2j))^n dx= int_(|z|=1) ((z^2-1)/(2jz))^ndz/(jz)$
A questo punto direi che $z=0$ è un polo di ordine $n+1$, quindi l'integrale è uguale a:
$I=2pijR[0]$
Quindi venendo al residuo:
$1/(n!)lim_(z -> 0) d^n/(dz^n) z^(n+1)/(jz)((z^2-1)/(2zj))^n=1/(n!)lim_(z -> 0) d^n/(dz^n) 1/j((z^2-1)/(2j))^n$
Qui iniziano i problemi, come posso scrivere la derivata n-esima di quel termine?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Il denominatore è una costante e puoi portarlo fuori dal segno di derivata. Il numeratore puoi svilupparlo utilizzando il teorema binomiale e considerare che la derivata n-esima in 0 è $n! a_n$ dove $a_n$ è il coefficiente del termine $z^n$
Perdonami, intanto grazie per la risposta, ma credo di non aver capito. Una volta sviluppato il numeratore, perché la derivata n-esima in 0 è $n!an$?
Perché è la derivata n-esima di un polinomio 
O altrmenti puoi vederla come serie di potenze (che è finita in questo caso, essendo un polinomio) e sai che il coefficiente di $z^n$ è $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
O altrmenti puoi vederla come serie di potenze (che è finita in questo caso, essendo un polinomio) e sai che il coefficiente di $z^n$ è $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
Scusami davvero se insisto, Antimius, ma è la prima volta che vedo l'applicazione del teorema binomiale ad un esercizio del genere. Ho provato ad applicarlo come hai detto tu, ma non riesco a venirne a capo.
Saresti così gentile da mostrarmi come utilizzarlo correttamente, perfavore? Grazie mille per la disponibilità
Saresti così gentile da mostrarmi come utilizzarlo correttamente, perfavore? Grazie mille per la disponibilità
Hai che $$(z^2-1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (z^2)^{n-k}(-1)^k$$
Allora, il coefficiente del termine $z^n$, lo ottieni per $k = n/2$ quando $n$ è pari. Quando $n$ è dispari, invece, esso sarà nullo[nota]Per $n$ dispari non è possibile avere il termine $z^n$ in quella somma. Perciò, la derivata n-esima è nulla in questo caso. Infatti, analizzando l'integrando, ti accorgi che è dispari (per $n$ dispari) e quindi anche l'integrale è nullo, perché, essendo una funzione periodica, puoi spostare l'intervallo di integrazione tra $-\pi$ e $\pi$.[/nota].
Segue che $$a_n = \binom{n}{n/2}(-1)^{n/2}$$
Facendo un paio di conti, ottieni che $$f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}n^2(n-1)^2 \dots (n/2+1)^2, & n\text{ pari} \\ 0, & n \text{ dispari} \end{cases}$$
A questo poi devi moltiplicare i vari termini costanti $j$ ecc.
Allora, il coefficiente del termine $z^n$, lo ottieni per $k = n/2$ quando $n$ è pari. Quando $n$ è dispari, invece, esso sarà nullo[nota]Per $n$ dispari non è possibile avere il termine $z^n$ in quella somma. Perciò, la derivata n-esima è nulla in questo caso. Infatti, analizzando l'integrando, ti accorgi che è dispari (per $n$ dispari) e quindi anche l'integrale è nullo, perché, essendo una funzione periodica, puoi spostare l'intervallo di integrazione tra $-\pi$ e $\pi$.[/nota].
Segue che $$a_n = \binom{n}{n/2}(-1)^{n/2}$$
Facendo un paio di conti, ottieni che $$f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}n^2(n-1)^2 \dots (n/2+1)^2, & n\text{ pari} \\ 0, & n \text{ dispari} \end{cases}$$
A questo poi devi moltiplicare i vari termini costanti $j$ ecc.
Ora si!
Continuando da solo con i calcoli mi trovo con il risultato finale...beh grazie di cuore, sei stato davvero gentilissimo.
Continuando da solo con i calcoli mi trovo con il risultato finale...beh grazie di cuore, sei stato davvero gentilissimo.
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