Integrale con parametro

[salvatoresambito]

Salve a tutti, idee per risolvere questo integrale con parametro? $ int_(1)^(+oo) (x/sqrt(x^2-1) -1)^a dx $
La singolarità si ha soltanto per $x->1$ .Ho provato in ogni modo ma non riesco a ricondurmi a nessun integrale notevole...come devo procedere?...

[pilloeffe]

Ciao Salvy,

Posto $I(a) := \int_{1}^{+\infty} (x/sqrt(x^2 - 1) -1)^a \text{d}x $, comincerei con l'osservare che i casi $a = 0 $ e $a = 1 $ sono immediati e si ha:

$I(0) = +\infty $ (integrale divergente)
$I(1) = 1 $ (integrale convergente a $1$)

Poi prova ad elaborare un po' quanto contenuto nelle parentesi tonde:

$ x/sqrt(x^2-1) - 1 = (x - sqrt(x^2-1))/sqrt(x^2-1) = ((x - sqrt(x^2-1))(x + sqrt(x^2-1)))/(sqrt(x^2-1)(x + sqrt(x^2-1))) = $
$ = 1/(sqrt((x - 1)(x + 1))(x + sqrt(x^2-1))) $

Quindi...

[salvatoresambito]

Non riesco a continuare

[salvatoresambito]

"pilloeffe":Ciao Salvy,

Posto $I(a) := \int_{1}^{+\infty} (x/sqrt(x^2 - 1) -1)^a \text{d}x $, comincerei con l'osservare che i casi $a = 0 $ e $a = 1 $ sono immediati e si ha:

$I(0) = +\infty $ (integrale divergente)
$I(1) = 1 $ (integrale convergente a $1$)

Poi prova ad elaborare un po' quanto contenuto nelle parentesi tonde:

$ x/sqrt(x^2-1) - 1 = (x - sqrt(x^2-1))/sqrt(x^2-1) = ((x - sqrt(x^2-1))(x + sqrt(x^2-1)))/(sqrt(x^2-1)(x + sqrt(x^2-1))) = $
$ = 1/(sqrt((x - 1)(x + 1))(x + sqrt(x^2-1))) $

Quindi...

Applico il confronto?
$ = 1/(sqrt((x - 1)(x + 1))(x + sqrt(x^2-1))) $ $ <=$ $ 1/(sqrt((x - 1)(x + 1)) $$ <= 1/(x-1)^(1/2) $
è sbagliato ma non riesco a correggermi ...

[pilloeffe]

"Salvy":è sbagliato [...]

Perché dici che è sbagliato?
La seconda sì perché hai introdotto il parametro $a$ dal nulla, ma la prima è corretta:

$ 1/(sqrt((x - 1)(x + 1))(x + sqrt(x^2-1))) <= 1/(sqrt((x - 1)(x + 1)) $

$\AA x > 1 $

[salvatoresambito]

"pilloeffe":[quote="Salvy"]è sbagliato [...]

Perché dici che è sbagliato?
La seconda sì perché hai introdotto il parametro $a$ dal nulla, ma la prima è corretta:

$ 1/(sqrt((x - 1)(x + 1))(x + sqrt(x^2-1))) <= 1/(sqrt((x - 1)(x + 1)) $

$\AA x > 1 $[/quote]
L'ho corretta , e adesso mi devo rifare all'integrale notevole?

[dissonance]

@pilloeffe: I(1)=1? Sei sicuro? Come lo hai calcolato?

[pilloeffe]

Ciao dissonance,

"dissonance":I(1)=1? Sei sicuro?

Direi di sì:

$I(1) = \int_{1}^{+\infty} (x/sqrt(x^2 - 1) -1)^1 \text{d}x = \int_{1}^{+\infty} (x/sqrt(x^2 - 1) -1) \text{d}x = $
$ = [\sqrt(x^2 - 1) - x]_1^{+\infty} = [0 - (-1)] = 1 $

@Salvy:

"Salvy":
L'ho corretta , e adesso mi devo rifare all'integrale notevole?

Certamente, occhio però che gli integrali notevoli da considerare sono $2 $, uno in $(1, c) $ e l'altro in $(c, +\infty) $ ove $c$ è un punto a tua scelta nell'intervallo $(1,+\infty) $

[salvatoresambito]

"pilloeffe":Ciao dissonance,
[quote="dissonance"]I(1)=1? Sei sicuro?

Direi di sì:

$I(1) = \int_{1}^{+\infty} (x/sqrt(x^2 - 1) -1)^1 \text{d}x = \int_{1}^{+\infty} (x/sqrt(x^2 - 1) -1) \text{d}x = $
$ = [\sqrt(x^2 - 1) - x]_1^{+\infty} = [0 - (-1)] = 1 $

@Salvy:

"Salvy":
L'ho corretta , e adesso mi devo rifare all'integrale notevole?

Certamente, occhio però che gli integrali notevoli da considerare sono $2 $, uno in $(1, c) $ e l'altro in $(c, +\infty) $ ove $c$ è un punto a tua scelta nell'intervallo $(1,+\infty) $[/quote]
Io all'inizio, studiando l'integranda , ho notato la singolarità soltanto in 1 , quindi perché dovrei usare due integrali notevoli?

[Mephlip]

Perché l'intervallo di integrazione è illimitato: devi studiare anche il comportamento per $x \to +\infty$.
In generale, un integrale è improprio se l'intervallo di integrazione è illimitato oppure la funzione integranda non è limitata in un intervallo limitato.

[salvatoresambito]

"Mephlip":Perché l'intervallo di integrazione è illimitato: devi studiare anche il comportamento per $x \to +\infty$.
In generale, un integrale è improprio se l'intervallo di integrazione è illimitato oppure la funzione integranda non è limitata in un intervallo limitato.

Grazie mille, quindi per $x->+oo$$ (1/(xsqrt(x^2-1) + x^2 -1)^a)$ $ ~ $ $ 1/(2x^(2a)) $ quindi converge per a>1/2 .
Mentre per x->1
$ (1/(xsqrt(x^2-1) + x^2 -1)^a)$ $ ~ $ $1/(x-1)^(1/2a) $ che converge per a<2 .
Dunque l'integrale converge per $ 1/2

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[pilloeffe]

... O per lo meno anch'io ho ottenuto il medesimo risultato...