Integrale con parametro

[salvatoresambito]

Salve a tutti devo risolvere questo integrale : $ int_(0)^(π) (sinx)/sqrt(x^a+x^5 $
Devo trovare il parametro a, affinché l’integrale converga
Ho provato a spezzarlo in due(da 0 a π/2,π/2 π) ma ottengo un integrale divergente, come posso procedere?

[salvatoresambito]

Non capisco se posso tralasciare la x^a quando studio l’integrale per X che tende a 0.
In poche parole vale questa (per X che tende a 0) $ x^a+x^5 $ ~ $ x^a $

[Bokonon]

"Salvy":In poche parole vale questa (per X che tende a 0) $ x^a+x^5 $ ~ $ x^a $

Ciò che hai scritto è raccapricciante
Chiarisciti prima in testa cosa stai facendo. Il problema è a zero, quindi usando taylor/mc laurin puoi ridurre il tutto ad un "confronto polinomiale".
L'integrale di riferimento (concettualmente parlando) è sempre del tipo $ int 1/x^a dx =int x^-a dx =(x^(1-a))/(1-a) +C$
Se si ragiona ad infinito, allora converge quando $1-a<0$ ovvero $a>1$
Se si ragiona attorno allo zero allora converge quando $1-a>0$ ovvero $a<1$ (1)

Attorno allo zero $ sin(x)~ x $, quindi puoi riscrivere il tutto come $int (x^(1-alpha/2))/sqrt(1+x^5/x^alpha)$
Riprendendo, concettualmente parlando, la (1) $1-alpha/2=-a$
Quindi $1+1-alpha/2>0$, ovvero $alpha<4$

[salvatoresambito]

Ma il problema non è anche a pigreco?

[Bokonon]

"Salvy":Ma il problema non è anche a pigreco?

Perchè mai?

[pilloeffe]

@Bokonon:

"Bokonon":Se si ragiona ad infinito [...]

Il presente solo per segnalare che infinito non è fra gli estremi di integrazione...

[salvatoresambito]

Perché è sbagliato quello che ho scritto?

[salvatoresambito]

$(1+x^5/x^alpha)$
questo è equivalente ad uno?per x -->0 ?

[Bokonon]

"pilloeffe":
Il presente solo per segnalare che infinito non è fra gli estremi di integrazione...

E quindi?
Dici che abbia molto male ad approfittare e fornirgli anche il ragionamento speculare nel caso il prossimo esercizio che farà abbia come estremo infinito?

[gugo82]

"Salvy":$(1+x^5/x^alpha)$
questo è equivalente ad uno?per $x ->0$ ?

Secondo te?

Lascia stare quello che ti hanno suggerito finora e concentrati sullo stabilire quando il tuo integrando è convergente per $x -> 0$ e quando e divergente (rispetto al parametro $alpha$); e nel caso di divergenza, calcola il suo ordine.
A questo punto, l'integrale è convergente in $0$ sia quando l'integrando è convergente, sia quando esso è divergente di ordine "piccolo" (quanto "piccolo"? Telo dice il Criterio dell'Ordine... Applicarlo!), non è convergente altrimenti.

[salvatoresambito]

secondo me si, nel caso in cui a<5

[salvatoresambito]

io ottengo per per a<4 l'integrale converge , poi studio separatamente per a>4 e noto che non può convergere ,l'unico caso rimanente è per a=4 ,ma anche in quel caso noto che non converge; è giusto questo metodo?cioè fare la divisione in 3 sottocasi?

[salvatoresambito]

"Bokonon":[quote="Salvy"]In poche parole vale questa (per X che tende a 0) $ x^a+x^5 $ ~ $ x^a $

Ciò che hai scritto è raccapricciante
Chiarisciti prima in testa cosa stai facendo. Il problema è a zero, quindi usando taylor/mc laurin puoi ridurre il tutto ad un "confronto polinomiale".
L'integrale di riferimento (concettualmente parlando) è sempre del tipo $ int 1/x^a dx =int x^-a dx =(x^(1-a))/(1-a) +C$
Se si ragiona ad infinito, allora converge quando $1-a<0$ ovvero $a>1$
Se si ragiona attorno allo zero allora converge quando $1-a>0$ ovvero $a<1$ (1)

Attorno allo zero $ sin(x)~ x $, quindi puoi riscrivere il tutto come $int (x^(1-alpha/2))/sqrt(1+x^5/x^alpha)$
Riprendendo, concettualmente parlando, la (1) $1-alpha/2=-a$
Quindi $1+1-alpha/2>0$, ovvero $alpha<4$[/quote]
A quanto pare non c'è nulla di raccapricciante, è ovvio che solo per a<4, quella quantità è uguale ad 1,volevo dire questo, scusami ma non mi hai chiarito niente

[gugo82]

"Salvy":io ottengo per per a<4 l'integrale converge , poi studio separatamente per a>4 e noto che non può convergere ,l'unico caso rimanente è per a=4 ,ma anche in quel caso noto che non converge; è giusto questo metodo?cioè fare la divisione in 3 sottocasi?

Il risultato (che non ho controllato) può essere anche giusto, però se non posti i calcoli è impossibile dare un giudizio sulla correttezza del metodo che hai usato.