Integrale con parametro
Buongiorno , ho un dubbio : ho questa funzione
$\{(3+\alpha/(x-1)),(x/(x^2-2)^(1/3)),(0):}$
la prima definita in $x in[0,1)$ la seconda $x in(1,4],x!=sqrt(2)$ e $f(x)=0 hArr x=sqrt(2)$
mi dice per quali alpha esiste $\int_0^4f(x)dx$
ma $x/(x^2-2)^(1/3)$ non è definita in 1! Non esiste proprio, com'è possibile?
$\{(3+\alpha/(x-1)),(x/(x^2-2)^(1/3)),(0):}$
la prima definita in $x in[0,1)$ la seconda $x in(1,4],x!=sqrt(2)$ e $f(x)=0 hArr x=sqrt(2)$
mi dice per quali alpha esiste $\int_0^4f(x)dx$
ma $x/(x^2-2)^(1/3)$ non è definita in 1! Non esiste proprio, com'è possibile?
Risposte
Ciao vivi96,
Al solito, sarà inteso che sia $ x/(root[3]{x^2-2}) $, per cui per $x = 1 $ si ha $ 1/(root[3]{1-2}) = 1/(root[3]{-1}) = - 1 $
Al solito, sarà inteso che sia $ x/(root[3]{x^2-2}) $, per cui per $x = 1 $ si ha $ 1/(root[3]{1-2}) = 1/(root[3]{-1}) = - 1 $
Ok ho dei problemi di lettura hai ragione! Grazie! In questo caso quindi se svolgo il limite con x che tende ad 1 meno, avrò un valore finito solo se alpha è zero (ed il suo valore sarà 3), in un altro caso invece avrei sempre infinito di ordine 1 quindi divergerebbe sempre e non esisterebbe l'integrale da 0 a 4. Se poi studio il limite di x che tende a 1 più mi accorgo che il valore è -1 dunque ho una discontinuità a salto. Ciò mi fa dire che quella funzione non ammetterà primitiva, ma questo non esclude che possa esistere l'integrale, o sbaglio? Perchè una funzione definita a tratti, per essere integrabile deve essere continua e questa lo è nei vari sottointervalli. Devo riflettere meglio?
Dunque, se ho capito bene la funzione $f : [0, 4] \to \RR $ è definita nel modo seguente:
$ f(x) :={(3+\frac{\alpha}{x - 1},text{ per } 0 \le x < 1),(\frac{x}{root[3]{x^2-2}},text{ per } 1 \le x \le 4 text{ ma } x!= \sqrt{2}),(0,text{ per } x = \sqrt{2}):}$
Ora, se l'esercizio ti chiede semplicemente per quali valori di $\alpha $ esiste $\int_0^4 f(x)dx $ come hai già visto deve essere $\alpha = 0 $ e hai finito. Se invece poi ti chiede anche di calcolare $\int_0^4 f(x)dx $ per $\alpha = 0$ allora dovrai spezzare l'integrale:
$ \int_0^4 f(x)dx = \int_0^1 3 dx + \int_1^4 \frac{x}{root[3]{x^2-2}} dx = 3 + [3/4 root[3]{(x^2-2)^2}]_1^4 = $
$ = 3 + [3/4 root[3]{14^2} - 3/4] = 3/4 (3 + root[3]{196}) $
$ f(x) :={(3+\frac{\alpha}{x - 1},text{ per } 0 \le x < 1),(\frac{x}{root[3]{x^2-2}},text{ per } 1 \le x \le 4 text{ ma } x!= \sqrt{2}),(0,text{ per } x = \sqrt{2}):}$
Ora, se l'esercizio ti chiede semplicemente per quali valori di $\alpha $ esiste $\int_0^4 f(x)dx $ come hai già visto deve essere $\alpha = 0 $ e hai finito. Se invece poi ti chiede anche di calcolare $\int_0^4 f(x)dx $ per $\alpha = 0$ allora dovrai spezzare l'integrale:
$ \int_0^4 f(x)dx = \int_0^1 3 dx + \int_1^4 \frac{x}{root[3]{x^2-2}} dx = 3 + [3/4 root[3]{(x^2-2)^2}]_1^4 = $
$ = 3 + [3/4 root[3]{14^2} - 3/4] = 3/4 (3 + root[3]{196}) $
Non è richiesto nell'esercizio, ma teoricamente dovrei anche controllare che in $sqrt(2)$ ,sia da sinistra che da destra, il limite valga zero, vero? Se così non fosse non potrei svolgere il secondo integrale perchè nell'intervallo non sarebbe continua
No, perché una funzione generalmente continua, cioè che presenta al più un numero finito di discontinuità di prima specie, con salto limitato, è integrabile e se $a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n - 1} < x_n = b $, ove $x_k $ sono i punti di discontinuità in numero finito, si ha:
$\int_a^b f(x) \text{d} x = \sum_{k = 1}^n \int_{x_{k - 1}}^{x_k} f(x) \text{d} x $
In altre parole non ti interessa cosa fa la funzione nel punto $x = \sqrt{2} $.
$\int_a^b f(x) \text{d} x = \sum_{k = 1}^n \int_{x_{k - 1}}^{x_k} f(x) \text{d} x $
In altre parole non ti interessa cosa fa la funzione nel punto $x = \sqrt{2} $.
"pilloeffe":
In altre parole non ti interessa cosa fa la funzione nel punto $x = \sqrt{2} $.
A patto che rimanga limitata lì intorno.
Perfetto grazie mille 
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