Integrale con paramentro
Salve a tutti, ho trovato un esercizio che mi crea qualche problema:
$\int_{0}^{+infty} (e^-x -e^-(2x))^b/(sqrtx) dx $
Allora, innanzitutto l'ho diviso in due integrali, uno da zero a uno, e l'altro da uno a più infinito. Per il primo integrale non dovrei aver avuto problemi, e mi verrebbe convergente per $b > -1/2$ (ditemi se vi torna). HO dei problemi per quanto riguarda la funzione all'infinito.. Avrei ragionato così:
$ (e^(-bx))/sqrtx < 1/sqrtx $
Poichè l'integrale improprio $\int_{1}^{infty} 1/x^a dx$ converge se e solo se $a>1$ , allora l'integrale in questione diverge..
E' giusto o c'è un altro modo per studiare l'integrale ad infinito? Grazie a tutti in anticipo
$\int_{0}^{+infty} (e^-x -e^-(2x))^b/(sqrtx) dx $
Allora, innanzitutto l'ho diviso in due integrali, uno da zero a uno, e l'altro da uno a più infinito. Per il primo integrale non dovrei aver avuto problemi, e mi verrebbe convergente per $b > -1/2$ (ditemi se vi torna). HO dei problemi per quanto riguarda la funzione all'infinito.. Avrei ragionato così:
$ (e^(-bx))/sqrtx < 1/sqrtx $
Poichè l'integrale improprio $\int_{1}^{infty} 1/x^a dx$ converge se e solo se $a>1$ , allora l'integrale in questione diverge..
E' giusto o c'è un altro modo per studiare l'integrale ad infinito? Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Per il primo integrale ok.
Per il secondo, notiamo innanzitutto che nell'intorno di $+\infty$, $\frac{e^{-bx}}{\sqrt{x}}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}$ solo se $b>0$. Altrimenti se $b\leq 0$, si ha la disuguaglianza opposta e di conseguenza diverge sicuramente.
Se dunque consideriamo $b>0$, abbiamo che $e^{-bx}x\to 0$ per $x\to +\infty$. Dunque possiamo dire che in un intorno di $+\infty$, $e^{-bx}x<1$, ovvero $e^{-bx}<1/x$, e se ora moltiplichiamo tutto per $1/\sqrt{x}$, otteniamo $\frac{e^{-bx}}{\sqrt{x}}<\frac{1}{x^{3/2}}$, dunque l'integrale converge.
Per il secondo, notiamo innanzitutto che nell'intorno di $+\infty$, $\frac{e^{-bx}}{\sqrt{x}}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}$ solo se $b>0$. Altrimenti se $b\leq 0$, si ha la disuguaglianza opposta e di conseguenza diverge sicuramente.
Se dunque consideriamo $b>0$, abbiamo che $e^{-bx}x\to 0$ per $x\to +\infty$. Dunque possiamo dire che in un intorno di $+\infty$, $e^{-bx}x<1$, ovvero $e^{-bx}<1/x$, e se ora moltiplichiamo tutto per $1/\sqrt{x}$, otteniamo $\frac{e^{-bx}}{\sqrt{x}}<\frac{1}{x^{3/2}}$, dunque l'integrale converge.
Grazie mille.
Ma perchè non è sufficiente utilizzare $1/sqrtx$ , mentre invece si arriva ad utilizzare $1/x^(3/2)$ ?
Ma perchè non è sufficiente utilizzare $1/sqrtx$ , mentre invece si arriva ad utilizzare $1/x^(3/2)$ ?
Perché $1/\sqrt{x}$ non è integrabile in un intorno di $+\infty$, mentre $1/{x^{3/2}}$ sì
Ok.. Potresti rispiegarmi perchè $e^(-bx) *x < 1$ ? Cioè, come hai fatto a dedurlo? Ho prvato a pensarci un po' prima di chiedertelo, ma non ci sono ancora arrivata 
Ordine di infiniti. Se $x\to +\infty$, allora $e^{-bx}x\to 0$ (ricordiamoci che stiamo supponendo $b>0$), infatti
\[
0
E se $e^{-bx}x\to 0$, allora prima o poi dovrà essere definitivamente minore di uno!!
\[
0
E se $e^{-bx}x\to 0$, allora prima o poi dovrà essere definitivamente minore di uno!!
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