Integrale con num=denom
Salve a tutti, mi sto ponendo un quesito al quale non riesco a darmi risposte!
Per quale motivo quest'integrale:
$ int(1+t)/(1+t) dt $
equivale a t ?
E perchè il risultato è t anche in
$ int(1+t^2)/(1+t^2) dt $
Inoltre, questo significa che anche se la t fosse elevata a n, l'integrale varrebbe sempre t?
Per quale motivo quest'integrale:
$ int(1+t)/(1+t) dt $
equivale a t ?
E perchè il risultato è t anche in
$ int(1+t^2)/(1+t^2) dt $
Inoltre, questo significa che anche se la t fosse elevata a n, l'integrale varrebbe sempre t?
Risposte
ciao,
perdonami ma stento a capire il motivo della tua domanda in quanto la risposta ce l'hai avanti agli occhi
se il numeratore e il denominatore sono uguali, la frazione semplicemente vale 1 ovvero
$int (1+t)/(1+t) dt = int 1 dt = t +c$
dove $c$ è una costante arbitraria
questo ragionamento vale indipendentemente da quale siano il numeratore e il denominatore, se sono uguali il loro rapposto è pari a $1$, tranne il caso in cui siano entrambi pari a zero
perdonami ma stento a capire il motivo della tua domanda in quanto la risposta ce l'hai avanti agli occhi
se il numeratore e il denominatore sono uguali, la frazione semplicemente vale 1 ovvero
$int (1+t)/(1+t) dt = int 1 dt = t +c$
dove $c$ è una costante arbitraria
questo ragionamento vale indipendentemente da quale siano il numeratore e il denominatore, se sono uguali il loro rapposto è pari a $1$, tranne il caso in cui siano entrambi pari a zero
"algoritmoisa":
Ciao a tutti! Sono nuova e almeno mi presento: mi chiamo Isabella e ho 23 anni!
Il mio problema è l'integrale della seguente funzione:
$ -(x+2)/((2x+1))*e^(-3/(10(x+1))) $
"algoritmoisa":
Salve a tutti, mi sto ponendo un quesito al quale non riesco a darmi risposte!
Per quale motivo quest'integrale:
$ int(1+t)/(1+t) dt $
equivale a t ?
????????
Attenzione a un piccolo punto. Premesso che quell'integrale è comunque uguale a $t+c$ e non uguale a $t$ essendo indefinito, ricordo che non non si può semplificare l'integranda perché si ottiene una funzione differente: l'integranda non è definita per $t=-1$.
Integrando con qualche passaggetto
$\int((1+t)/(1+t) dt)=\int(1/(1+t)dt)+\int(t/(1+t)dt)=log|1+t|+t-log|1+t| +c=t+c$
EDIT
Ho editato perché mi sono sembrato un po' acido - non intenzionalmente, comunque -, come mi ha fatto notare tommik.
Integrando con qualche passaggetto
$\int((1+t)/(1+t) dt)=\int(1/(1+t)dt)+\int(t/(1+t)dt)=log|1+t|+t-log|1+t| +c=t+c$
EDIT
Ho editato perché mi sono sembrato un po' acido - non intenzionalmente, comunque -, come mi ha fatto notare tommik.
Scusami Zero87, formalmente non hai ragione, ma di più ... 
... però ... però nessuno lo risolverebbe così e d'altronde il risultato è lo stesso; inoltre per quanto riguarda l'insieme di definizione dell'integranda, la tua osservazione non vale solo in questo caso ma per qualsiasi funzione fratta, che però vengono semplificate in questo modo alla grande 
(a meno dei casi in cui quei punti al di fuori del dominio siano importanti per il problema stesso ...).
IMHO
Cordialmente, Alex
... però ... però nessuno lo risolverebbe così e d'altronde il risultato è lo stesso; inoltre per quanto riguarda l'insieme di definizione dell'integranda, la tua osservazione non vale solo in questo caso ma per qualsiasi funzione fratta, che però vengono semplificate in questo modo alla grande (a meno dei casi in cui quei punti al di fuori del dominio siano importanti per il problema stesso ...).IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
però nessuno lo risolverebbe così e d'altronde il risultato è lo stesso
Lo so, ma ho puntualizzato perché la forumista aveva dubbi e perché sono di quelle cose che poi in un orale i prof contano come errore (non a torto, comunque).
inoltre per quanto riguarda l'insieme di definizione dell'integranda, la tua osservazione non vale solo in questo caso ma per qualsiasi funzione fratta, che però vengono semplificate in questo modo alla grande
Ti quoto in tutto!
Ciao
"Zero87":
Non voglio entrare nel merito delle polemiche - e neanche mi importa - ma quell'integrale non è uguale a $t$, al massimo è uguale a $t+c$ essendo indefinito.
Ricordo che non si può semplificare perché si ottiene una funzione differente come integranda: l'integranda non è definita per $t=-1$.
Integrando con qualche passaggetto
$\int((1+t)/(1+t) dt)=\int(1/(1+t)dt)+\int(t/(1+t)dt)=log|1+t|+t-log|1+t| +c=t+c$
oh cavolo, avete perfettamente ragione.... l'ho sparata grossa io!
Chiedo scusa, mi è partito uno scivolone davvero vergognoso
mi spiace di aver dato una risposta fuorviante alla forumista
"Zero87":
Ricordo che non si può semplificare perché si ottiene una funzione differente come integranda: l'integranda non è definita per $t=-1$.
Integrando con qualche passaggetto
$\int((1+t)/(1+t) dt)=\int(1/(1+t)dt)+\int(t/(1+t)dt)=log|1+t|+t-log|1+t| +c=t+c$
invece io non sono affatto d'accordo con quanto affermato qui sopra: l'affermazione perentoria di Zero non tiene conto di eventuali ipotesi fatte precedentemente. Potrebbe infatti essere che l'espressione in oggetto non sia l'espressione originaria ma, al contrario, sia il risultato di successive manipolazioni algebriche ed il fattore qui semplificato altro non sia che un fattore inserito ad hoc (ad es. per risolvere o semplificare un'espressione più complessa).
Così è anche ipotizzabile che la condizione $t=-1$ sia stata esclusa precedentemente; mi viene in mente ciò anche in considerazione della "stranezza" dell'espressione in oggetto.
Osserviamo i conti, ovviamente impeccabili, fatti da Zero che riporto esplicitandoli ulteriormente:
$\int((1+t)/(1+t) dt)=\int(1/(1+t)dt)+\int(t/(1+t)dt)=int(1/(1+t)dt)+\int((t+1)-1)/(1+t)dt=log|1+t|+t-log|1+t| +c=t+c$
Se isoliamo il seguente integrale:
$\int((t+1)-1)/(1+t)dt$
può erroneamente apparire che egli semplifichi $(1+t)$ in modo del tutto analogo al caso in esame.
questo, ovviamente, senza voler innescare polemica alcuna, è solo il mio modestissimo parere...parere di uno che ha smesso di studiare queste cose oltre 20 anni fa e si affida solo al buon senso....
"Summerwind78":
ciao,
perdonami ma stento a capire il motivo della tua domanda in quanto la risposta ce l'hai avanti agli occhi
se il numeratore e il denominatore sono uguali, la frazione semplicemente vale 1 ovvero
$int (1+t)/(1+t) dt = int 1 dt = t +c$
dove $c$ è una costante arbitraria
questo ragionamento vale indipendentemente da quale siano il numeratore e il denominatore, se sono uguali il loro rapposto è pari a $1$, tranne il caso in cui siano entrambi pari a zero
in parole povere.... questo procedimento è corretto?
Ammetto che questo tipo di integrali li ho risolti così... senza ricondurmi alla forma con i logaritmi. Per fare un esame che prevede la sola prova scritta, va bene procedere in questo modo? 
Ciao
diciamo che il ragionamento sarebbe corretto se io avessi considerato il dominio della funzione
in pratica se il dominio a priori avesse escluso $x=-1$ allora il ragionamento che io fatto io (strafalcione a parte) sarebbe stato giusto.
nel caso non avessi escluso a priori $x=-1$ allora è giusto fare il ragionamento con i logaritmi
ma aspetterei la risposta di uno più quotato di me, io sono un matematico amatoriale e non troppo bravo da come si evince dai miei post
diciamo che il ragionamento sarebbe corretto se io avessi considerato il dominio della funzione
in pratica se il dominio a priori avesse escluso $x=-1$ allora il ragionamento che io fatto io (strafalcione a parte) sarebbe stato giusto.
nel caso non avessi escluso a priori $x=-1$ allora è giusto fare il ragionamento con i logaritmi
ma aspetterei la risposta di uno più quotato di me, io sono un matematico amatoriale e non troppo bravo da come si evince dai miei post
Μmh secondo me il risultato dell'integrale è $t (+c), forall t in RR$, cioé $t_0=-1$ appartiene al dominio dell'integranda.
Essendo num e den perfettamente identici, non importa quanto noi ci avviciniamo a tale punto, otterremo sempre la costante unitaria e perciò il particolare $t_0$ non influenza il risultato finale, sia semplificando "brutalmente" sia passando per i logaritmi, anche perché come è già stato scritto
\[ \cdots = \underbrace {\left( {\ln \left| {t + 1} \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)}_{ = 0} + t + c = t + c\]
cioè il passaggio ai logaritmi non porta altre informazioni - e mi sembra essere ovvio, ritenendo le due scritture equivalenti: difatti
\[\frac{{1 + t}}{{1 + t}} = \frac{1}{{1 + t}} + \frac{t}{{1 + t}} = \frac{1}{{1 + t}} + 1 - \frac{1}{{1 + t}} = 1\]
Lascio comunque la parola ai più esperti in materia, la mia è solo una supposizione.
Essendo num e den perfettamente identici, non importa quanto noi ci avviciniamo a tale punto, otterremo sempre la costante unitaria e perciò il particolare $t_0$ non influenza il risultato finale, sia semplificando "brutalmente" sia passando per i logaritmi, anche perché come è già stato scritto
\[ \cdots = \underbrace {\left( {\ln \left| {t + 1} \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)}_{ = 0} + t + c = t + c\]
cioè il passaggio ai logaritmi non porta altre informazioni - e mi sembra essere ovvio, ritenendo le due scritture equivalenti: difatti
\[\frac{{1 + t}}{{1 + t}} = \frac{1}{{1 + t}} + \frac{t}{{1 + t}} = \frac{1}{{1 + t}} + 1 - \frac{1}{{1 + t}} = 1\]
Lascio comunque la parola ai più esperti in materia, la mia è solo una supposizione.
Si tratta di una piccola falla del nostro sistema formale di cui abbiamo già discusso abbondantemente su questo forum. Noi manipoliamo *espressioni formali* ma il nostro sistema teorico considera delle *funzioni*, e sono due cose diverse. Una espressione formale non contiene alcune delle informazioni necessarie a individuare una funzione (in particolar modo non contiene il dominio), quindi c'è un certo grado di ambiguità. Ma noi siamo esseri umani, non macchine, e possiamo supplire all'ambiguità con l'intelligenza, capendo quale sia la strada corretta in base al contesto.
"tommik":
l'affermazione perentoria di Zero non tiene conto di eventuali ipotesi fatte precedentemente
Esatto, ho risposto in base a ciò che ho trovato scritto come problema e il "perentorio" è qualcosa che mi è uscito per sbaglio di cui mi scuso perché rileggendomi mi sembro piuttosto acido.
Osserviamo i conti, ovviamente impeccabili, fatti da Zero che riporto esplicitandoli ulteriormente
"Impeccabili" è un po' una casualità, conoscendomi...
L'accenno alla polemica che voglio evitare era sorto leggendo i post precedenti e ora che ho visto che è sparita la suddetta polemica, vado anche ad editare il post precedente.
"dissonance":
Si tratta di una piccola falla del nostro sistema formale di cui abbiamo già discusso abbondantemente su questo forum.
In altre parole o altri contesti, diciamo che sono le tipiche questioni che sorgono nella secondaria di secondo grado (alludo anche alla sezione del forum) alle quali non si dà importanza o si tratta come concetto "a fidarsi" per vari motivi che francamente un po' ignoro. Ci sono miriadi di esercizi con denominatori semplificabili senza che, però, nelle suddette secondarie si specifica il perché non vadano semplificati senza le opportune considerazioni.
Nelle secondarie, però, si parla anche della discontinuità di terza specie (i numeri non li ricordo, comunque mi riferisco a quella eliminabile), argomento strettamente collegato a questa specie di esercizi.
C'è anche un'altra questione riguardante delle proprietà che utilizziamo sempre a cuor leggero, specie quelle dei logaritmi. Per fare un esempio onnicomprensivo, le funzioni
$f(x)=log(x+1)-log(x-1)$ e $g(x)=log((x+1)/(x-1))$
sono differenti (se non ci si crede, si può fare il dominio) nonostante dalla prima si passa alla seconda utilizzando una nota proprietà del logaritmo.
La polemica l'ho innescata io e mi scuso. ..anche perché non è mia abitudine polemizzare...è un periodo che sono un po' nervoso. ...
"tommik":
La polemica l'ho innescata io e mi scuso. ..anche perché non è mia abitudine polemizzare...è un periodo che sono un po' nervoso. ...
Non preoccuparti, io non mi riferivo tanto al tuo commento in sé quando al fatto che personalmente me ne ero chiamato fuori; a ripensarci, potevo evitarla un po' di acidità (non voluta) fuori luogo.
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