Integrale con modulo

[ludwigZero]

salve.
Ho questo integrale:


$ \int (e^-(|x|) - e^-L)^2 dx $

io ho distinto due casi:

$x> 0$: $ \int (e^-x - e^-L)^2 dx $
e

$x<0 $ : $ \int (e^x - e^-L)^2 dx $

è giusto?

[Riccardo Desimini]

Sì.

[gugo82]

@ludwigZero: Che cosa chiede l'esercizio?

[ludwigZero]

"gugo82":@ludwigZero: Che cosa chiede l'esercizio?

ho come funzione $f(x) = N g(x) $ dove la $g(x)$ è quella che ho scritto dentro l'integrale.
trovare la costante di normalizzazione della $f(x)$ tale che:

$int C^2 f^2(x)dx = 1$

dove $x \in (-L,L)$

pensi ci sia un calcolo più veloce?

[ciampax]

No, credo che gugo si chiedesse se non ci fossero limitazioni particolari da fare per quel valore assoluto. E' giusto distinguere i due casi, ma questo implica anche calcolare gli integrali così
$$\int_{-L}^0 \left(e^{x}-e^{-L}\right)^2\ dx+\int_{0}^L\left(e^{-x}-e^{-L}\right)^2\ dx$$
ed osservando che la funzione risulta pari, il tutto si riduce a calcolare questo:
$$2\int_0^L\left(e^{-x}-e^{-L}\right)^2\ dx$$

[ludwigZero]

Il risultato è qualcosa di obbrobrioso xD

Viene:

$ 2 [ 1/2 - 2 e^(-L) + e^(-2L) (3 + 2L)/2 ] $

quindi:

$ C^2 = 1/( 2 [ 1/2 - 2 e^(-L) + e^(-2L) (3 + 2L)/2 ] ) $

ti trovi?

[ludwigZero]

up

[ciampax]

Il risultato è quello. Però, scusa, se $f=Ng$, allora
$$1=\int_{-L}^l C^2 f^2\ dx=C^2 N^2\int_{-L}^L g^2\ dx=C^2 N^2 I$$
dove $I=||g||_{L^2([-L,L])}^2$ (cioè il valore dell'integrale. Pertanto $C^2=1/{N^2 I}$.