Integrale con metodo residui
Sto approcciando l'argomento in oggetto ed ammetto di avere non poche difficoltà. Veniamo ad un esercizio. L'integrale è questo
\[
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{(2+\sin \theta)^{2}}
\]
Ora, seguendo abbastanza pedestremente quanto indicato negli appunti, opero una sostituzione per ricondurmi ad un integrale complesso calcolato lungo la circonferenza unitaria centrata nell'origine. La sostituzione sarebbe questa. Poniamo
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{1}{(2+\frac{z-z^{-1}}{2i})^{2}}dz
\]
Adesso dovrei calcolarmi i residui che cadono all'interno del cerchio lungo il quale sto integrando. Il problema è che svolgendo il quadrato mi viene fuori un'equazione di quarto grado e non so come proseguire. Provo a postare i miei calcoli:
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{1}{(2+\frac{z-z^{-1}}{2i})^{2}}dz=\frac{1}{iz}\frac{1}{4+\frac{2(z-z^{-1})}{i}+\frac{z^{2}-2+z^{-2}}{-4})}=-\frac{4}{iz^{3}-8z^{2}-18iz+iz^{-1}+8}
\]
A questo punto non so più come andare avanti. Non riesco a calcolare le singolarità di $f(z)$ per poi determinare i residui che mi interessano.
\[
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{(2+\sin \theta)^{2}}
\]
Ora, seguendo abbastanza pedestremente quanto indicato negli appunti, opero una sostituzione per ricondurmi ad un integrale complesso calcolato lungo la circonferenza unitaria centrata nell'origine. La sostituzione sarebbe questa. Poniamo
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{1}{(2+\frac{z-z^{-1}}{2i})^{2}}dz
\]
Adesso dovrei calcolarmi i residui che cadono all'interno del cerchio lungo il quale sto integrando. Il problema è che svolgendo il quadrato mi viene fuori un'equazione di quarto grado e non so come proseguire. Provo a postare i miei calcoli:
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{1}{(2+\frac{z-z^{-1}}{2i})^{2}}dz=\frac{1}{iz}\frac{1}{4+\frac{2(z-z^{-1})}{i}+\frac{z^{2}-2+z^{-2}}{-4})}=-\frac{4}{iz^{3}-8z^{2}-18iz+iz^{-1}+8}
\]
A questo punto non so più come andare avanti. Non riesco a calcolare le singolarità di $f(z)$ per poi determinare i residui che mi interessano.
Risposte
Ti conviene non sviluppare il quadrato.
\[
\left(2+\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^2=\frac{-4z^2}{(4iz+z^2-1)}
\]
Otterrai due poli doppi (uno lo puoi scartare perchè ha modulo maggiore di 1).
P.S. Come al solito non contare troppo sui miei conti; stasera poi sono più rinco del solito (la stanchezza post esame si fa sentire
)
\[
\left(2+\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^2=\frac{-4z^2}{(4iz+z^2-1)}
\]
Otterrai due poli doppi (uno lo puoi scartare perchè ha modulo maggiore di 1).
P.S. Come al solito non contare troppo sui miei conti; stasera poi sono più rinco del solito (la stanchezza post esame si fa sentire
)
Quindi se ho capito bene avremo
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{-4z^{2}}{(z^{2}+4iz-1)^{2}}=\frac{4iz}{(z^{2}+4iz-1)^{2}}
\]
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{-4z^{2}}{(z^{2}+4iz-1)^{2}}=\frac{4iz}{(z^{2}+4iz-1)^{2}}
\]
Sì, esatto.
Ora il denominatore si annulla in $z=i(-2 \pm \sqrt3)$. Scartato il polo con modulo maggiore di uno, a questo punto si tratta di calcolare il residuo di $f$ nell'altro polo. E' un polo doppio (lo si intuisce perchè la molteplicità come zero del denominatore è 2) quindi bisogna usare l'opportuna formula $\text{Res}(f,w) = \lim_{z \to w} \frac{d}{dz}[(z-w)^2f(z)]$ valida per poli di ordine due, appunto.
Ora il denominatore si annulla in $z=i(-2 \pm \sqrt3)$. Scartato il polo con modulo maggiore di uno, a questo punto si tratta di calcolare il residuo di $f$ nell'altro polo. E' un polo doppio (lo si intuisce perchè la molteplicità come zero del denominatore è 2) quindi bisogna usare l'opportuna formula $\text{Res}(f,w) = \lim_{z \to w} \frac{d}{dz}[(z-w)^2f(z)]$ valida per poli di ordine due, appunto.
Non so se ho sbagliato i conti ma a me viene:
\[
Res(f,w)=\frac{\sqrt{3}}{8i}
\]
dove \(w=i(-2+\sqrt{3})\). Tornando all'integrale originario avrei che \(I=\frac{\sqrt{3}}{4}\pi\) che però non quadra con la soluzione indicata.
\[
Res(f,w)=\frac{\sqrt{3}}{8i}
\]
dove \(w=i(-2+\sqrt{3})\). Tornando all'integrale originario avrei che \(I=\frac{\sqrt{3}}{4}\pi\) che però non quadra con la soluzione indicata.
Temo tu abbia sbagliato dei conti. Il residuo dovrebbe essere $-2isqrt3/9$. Al massimo, se non trovi l'errore, prova a postare i tuoi conti che gli diamo un'occhiata...
Provo a postare i miei calcoli:
\[
Res(f,w)=\lim_{z \to w}\frac{d}{dz}[(z-w)^{2}f(z)]=\lim_{z \to w}\frac{d}{dz}\left[\cancel{(z-w)^{2}}\frac{4iz}{\cancel{(z-w)^{2}}(z-2i-\sqrt{3}i)^{2}}\right]=
\]
\[
=\lim_{z \to w}\frac{4i(z-2i-\sqrt{3}i)^{2}-4iz\cdot 2(z-2i-\sqrt{3}i))}{(z-2i-\sqrt{3}i)^{4}}=\lim_{z \to w}\frac{4i(z-2i-\sqrt{3}i-2z)}{(z-2i-\sqrt{3}i)^{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{64i}=\frac{\sqrt{3}}{8i}
\]
\[
Res(f,w)=\lim_{z \to w}\frac{d}{dz}[(z-w)^{2}f(z)]=\lim_{z \to w}\frac{d}{dz}\left[\cancel{(z-w)^{2}}\frac{4iz}{\cancel{(z-w)^{2}}(z-2i-\sqrt{3}i)^{2}}\right]=
\]
\[
=\lim_{z \to w}\frac{4i(z-2i-\sqrt{3}i)^{2}-4iz\cdot 2(z-2i-\sqrt{3}i))}{(z-2i-\sqrt{3}i)^{4}}=\lim_{z \to w}\frac{4i(z-2i-\sqrt{3}i-2z)}{(z-2i-\sqrt{3}i)^{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{64i}=\frac{\sqrt{3}}{8i}
\]
$z_2=i(-2-\sqrt3)$, quindi a denominatore dovresti avere $z+2i+isqrt3$.
Quando passi al limite, $w-z_2=(2sqrt3)i$...
Quando passi al limite, $w-z_2=(2sqrt3)i$...
Giusto, avevo sbagliato a scomporre il denominatore di $f(z)$. Adesso torna.
Grazie mille.
Grazie mille.
Bene, sono contento che ti venga. Comunque prego, figurati. Buona giornata 
Altro integrale con procedimento simile
\[
\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin 3\theta}{2+\sin \theta}d\theta
\]
Introduco la funzione
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{\frac{z^{3}-z^{-3}}{2i}}{2+\frac{z-z^{-1}}{2i}}=\frac{1}{iz}\frac{z^{3}-\frac{1}{z^{3}}}{2i}\frac{2i}{4i+z-\frac{1}{z}}=\frac{1}{iz}\frac{z^{6}-1}{z^{3}}\frac{z}{z^{2}+4iz-1}=\frac{z^{6}-1}{iz^{3}(z^{2}+4iz-1)}
\]
Dunque avremmo un polo di ordine $3$ in $z_1=0$ e due poli semplici in $z_2=i(-2-\sqrt{3})$ e in $z_3=i(-2+\sqrt{3})$. I poli racchiusi nel cerchio unitario sono $z_1$ e $z_3$.
Calcolo i residui
\[
Res(f,z_1)=Res(f,0)=\lim_{z \to 0}\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[z^{3}\frac{z^{6}-1}{iz^{3}(z^{2}+4iz-1)}\right]=\cdots=15i
\]
Purtroppo il calcolo dell'altro residuo che mi interessa mi da dei numeri non molto carini:
\[
Res(f,z_3)=\frac{z_3^{6}-1}{5iz_3^{4}-16z_3^{3}-3iz_3^{2}}=\cdots
\]
(non proseguo i calcoli perché vedendo la soluzione data dal prof, sono completamente fuori strada).
E' probabile che abbia impostato male la soluzione? Oppure ho sbagliato qualche conto?
\[
\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin 3\theta}{2+\sin \theta}d\theta
\]
Introduco la funzione
\[
f(z)=\frac{1}{iz}\frac{\frac{z^{3}-z^{-3}}{2i}}{2+\frac{z-z^{-1}}{2i}}=\frac{1}{iz}\frac{z^{3}-\frac{1}{z^{3}}}{2i}\frac{2i}{4i+z-\frac{1}{z}}=\frac{1}{iz}\frac{z^{6}-1}{z^{3}}\frac{z}{z^{2}+4iz-1}=\frac{z^{6}-1}{iz^{3}(z^{2}+4iz-1)}
\]
Dunque avremmo un polo di ordine $3$ in $z_1=0$ e due poli semplici in $z_2=i(-2-\sqrt{3})$ e in $z_3=i(-2+\sqrt{3})$. I poli racchiusi nel cerchio unitario sono $z_1$ e $z_3$.
Calcolo i residui
\[
Res(f,z_1)=Res(f,0)=\lim_{z \to 0}\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[z^{3}\frac{z^{6}-1}{iz^{3}(z^{2}+4iz-1)}\right]=\cdots=15i
\]
Purtroppo il calcolo dell'altro residuo che mi interessa mi da dei numeri non molto carini:
\[
Res(f,z_3)=\frac{z_3^{6}-1}{5iz_3^{4}-16z_3^{3}-3iz_3^{2}}=\cdots
\]
(non proseguo i calcoli perché vedendo la soluzione data dal prof, sono completamente fuori strada).
E' probabile che abbia impostato male la soluzione? Oppure ho sbagliato qualche conto?
Uh Max, mi cogli impreparato. Questo integrale era un casino pazzesco...
Guarda, è l'unico integrale che mi manca di quel foglio, non ho mai avuto il tempo (e la voglia) di riprenderlo... Se ho tempo in questi giorni provo a rifare un po' i conti e ti faccio sapere.
Guarda, è l'unico integrale che mi manca di quel foglio, non ho mai avuto il tempo (e la voglia) di riprenderlo... Se ho tempo in questi giorni provo a rifare un po' i conti e ti faccio sapere.
Ma secondo te l'impostazione dell'esercizio è corretta?
Sì, l'impostazione è giusta e su quello non ci piove.
Sono solo i conti per i residui che sono antipatici... Tra l'altro, noto ora una cosa: mi pare tu abbia dimenticato un fattore $1/2$ davanti a tutto, nel calcolo del residuo in $z=0$.
Ti torna?
Sono solo i conti per i residui che sono antipatici... Tra l'altro, noto ora una cosa: mi pare tu abbia dimenticato un fattore $1/2$ davanti a tutto, nel calcolo del residuo in $z=0$.
Ti torna?
Già è vero che la formula per il calcolo del residuo in corrispondenza di un polo di ordine $n$ è:
\[
Res(f,w)=\lim_{z \to w}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-w)^{n}f(z)\right]
\]
E' giusto?
\[
Res(f,w)=\lim_{z \to w}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-w)^{n}f(z)\right]
\]
E' giusto?
Manca una $d$ a denominatore, ma è una svista.
Comunque sì, è giusta. Ti faccio osservare che per poterla applicare devi sapere l'ordine del polo, cosa non sempre scontata.
Comunque sì, è giusta. Ti faccio osservare che per poterla applicare devi sapere l'ordine del polo, cosa non sempre scontata.
Ok grazie ho modificato.
Mi sono fatto dare un mano da wolframalpha ed i calcoli verrebbero così:
\[
Res(f,z_3)=\frac{z_3^{6}-1}{5iz_3^{4}-16z_3^{3}-3iz_3^{2}}=\frac{[i(-2+\sqrt{3})]^{6}-1}{5i[i(-2+\sqrt{3})]^{4}-16[i(-2+\sqrt{3})]^{3}-3i[i(-2+\sqrt{3})]^{2}}=\frac{52(15\sqrt{3}-26)}{i(90-52\sqrt{3}}=-\frac{26}{\sqrt{3}}i
\]
Tornando all'integrale originale abbiamo che
\[
I=2\pi i(15i-\frac{26}{\sqrt{3}}i)=2\pi(\frac{26}{\sqrt{3}}-15)
\]
\[
Res(f,z_3)=\frac{z_3^{6}-1}{5iz_3^{4}-16z_3^{3}-3iz_3^{2}}=\frac{[i(-2+\sqrt{3})]^{6}-1}{5i[i(-2+\sqrt{3})]^{4}-16[i(-2+\sqrt{3})]^{3}-3i[i(-2+\sqrt{3})]^{2}}=\frac{52(15\sqrt{3}-26)}{i(90-52\sqrt{3}}=-\frac{26}{\sqrt{3}}i
\]
Tornando all'integrale originale abbiamo che
\[
I=2\pi i(15i-\frac{26}{\sqrt{3}}i)=2\pi(\frac{26}{\sqrt{3}}-15)
\]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo