Integrale con metodo della sostituzione

fifty_50
Ragazzi buona sera a tutti,
sto cercando di risolvere questo integrale con il metodo della sostituzione (in base a quanto richiesto dalla consegna) ma arrivo ad un certo punto che non riesco a raccapezzarmi più con in conti.. L'integrale in questione è
$ int x/((sqrt(x^(2)+1))(x^(2)+1)(x^(2)+2))dx $
e la sostituzione che ho utilizzato io è $ t=(sqrt(x^(2)+1))+x $
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi? Vi ringrazio in anticipo

Risposte
anto_zoolander
intanto il dominio della integranda è tutto $RR$

Io intanto ti direi per semplificare i conti di fare questa sostituzione:

$x^2=t <=> (2x)dx=dt$

l'integrale diventa $1/2int1/(sqrt(t+1)(t+1)(t+2))dt$

giusto per non perdersi in errori inutili.
A occhio la sostituzione più corretta mi sembra $sqrt(t+1)=u <=> (1/(2sqrt(t+1)))dt=du$

$t=u^2-1$ dunque l'integrale diventa

$int1/(u^2(u^2+1))du$

considera che con le sostituzione che abbiamo fatto rivedere i domini non è strettamente necessario perché tanto operiamo su tutto $RR$, e non abbiamo applicato sostituzioni particolarmente stringenti. L'unica considerazione da fare è che per $tgeq0$
e che $u^2>1 <=> u>1$ prendiamo solo $u>1$ perché la funzione poi deve essere invertibile.
al prossimo passaggio aggiungo e tolgo $u^2$

$int(1+u^2)/(u^2(1+u^2))du-intu^2/(u^2(1+u^2))du$

$int1/u^2du-int1/(1+u^2)du=-1/u-arctan(u)+c$

ora tornando nella nostra variabile otteniamo notando che:

$u=sqrt(1+t)=sqrt(1+x^2)$

$F(x)=-1/sqrt(1+x^2)-arctan(sqrt(1+x^2))+c$

fifty_50
Ho capito!! Io avevo utilizzato quella sostituzione perché il mio prof di solito utilizza quella ma così è molto più semplice! Sei stato gentilissimo e chiarissimo, grazie mille!

anto_zoolander
Ti metto un'altra soluzione, per ringraziare @Tommik di avermi fatto notare questa cosa fantasiosa in un altro integrale.

$intx/(sqrt(x^2+1)(x^2+1)(x^2+2))dx$

$int(xcos(arctan(x)))/((x^2+1)(x^2+2))dx$

pongo $u=arctan(x), uin(-pi/2,pi/2)$
e $du=1/(1+x^2)dx$ ricavo $x=tan(u)$

$int(tan(u)cos(u))/(tan^2(u)+2)du=int(sin(u)cos^2(u))/(sin^2(u)+2cos^2(u))du$

$int(sin(u)cos^2(u))/(1+cos^2(u))du$

ora poniamo $cos(u)=z <=> -sin(u)du=dz$ con $zin(0,1)$

e l'integrale diventa $-intz^2/(1+z^2)dz$

ora basta aggiungere e togliere $1$

$-int(1+z^2)/(1+z^2)dz+int1/(1+z^2)dz=-z+arctan(z)+c$

considerando $z=cos(u)=cos(arctan(x))=1/sqrt(x^2+1)$

$F(x)=-1/sqrt(1+x^2)+arctan(1/sqrt(1+x^2))$

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