Integrale con metodo dei residui
Salve a tutti, è da un po' di giorni che sto tentando di risolvere integrali definiti col metodo dei residui. Finchè il polo è di prim'ordine nessun problema, ma poi nulla torna, esempio:
$ int_(-oo )^(+oo ) dx/(x^2+x+1)^2 $
di poli con parte immaginaria positiva ne ha uno solo, doppio in $z0= -1/2 + i sqrt(3)/2 $
Applico poi il lemma del grande cerchio:
$ res(f,z0)= lim_(z -> -1/2 + i sqrt(3)/2 ) d/dz((z+1/2-i sqrt(3)/2)/(z^2+z+1))^2 $
che però non porta a nulla...grazie in anticipo a chi mi aiuterà a capire dove sto sbagliando!
$ int_(-oo )^(+oo ) dx/(x^2+x+1)^2 $
di poli con parte immaginaria positiva ne ha uno solo, doppio in $z0= -1/2 + i sqrt(3)/2 $
Applico poi il lemma del grande cerchio:
$ res(f,z0)= lim_(z -> -1/2 + i sqrt(3)/2 ) d/dz((z+1/2-i sqrt(3)/2)/(z^2+z+1))^2 $
che però non porta a nulla...grazie in anticipo a chi mi aiuterà a capire dove sto sbagliando!
Risposte
Il residuo viene $ -j(sqrt(3)/3) $ che moltiplicato per $ 2 pi j $ fa $ 2 pi sqrt(3) / 3 $
cos'è che nont i torna?
cos'è che nont i torna?
Chiedo a te così come agli altri
$ int_(-oo)^(+oo) cos(x)/(x(x^2+jx+2))dx $
Questo integrale lo si può calcolare come parte reale dell'integrale che ha al numeratore $ e^(jx) $ ?
$ int_(-oo)^(+oo) cos(x)/(x(x^2+jx+2))dx $
Questo integrale lo si può calcolare come parte reale dell'integrale che ha al numeratore $ e^(jx) $ ?
la derivata viene
$ 2((z+1/2-i sqrt(3)/2)/(z^2+z+1))(((z^2+z+1)-(2z+1)(z+1/2-i sqrt(3)/2))/(z^2+z+1)^2) $
che presenta una singolarità in z0...come fa a venirti quel risultato?
per l'integrale non credo si possa fare...il metodo più rapido che mi viene in mente è proprio con i residui...ti ritrovi con un 2 poli semplici in i e 0
$ 2((z+1/2-i sqrt(3)/2)/(z^2+z+1))(((z^2+z+1)-(2z+1)(z+1/2-i sqrt(3)/2))/(z^2+z+1)^2) $
che presenta una singolarità in z0...come fa a venirti quel risultato?
per l'integrale non credo si possa fare...il metodo più rapido che mi viene in mente è proprio con i residui...ti ritrovi con un 2 poli semplici in i e 0
Basta che scomponi il denominatore come $ (z+1/2+jsqrt(3)/2)^2(z+1/2-jsqrt(3)/2)^2 $ e semplifichi
...ok, studiare troppo fa male, ne ho la dimostrazione!
Grazie mille dell'aiuto!!
Grazie mille dell'aiuto!!
Di nulla..mi faresti sapere quanto ti viene l'integrale che ho scritto io? Thanks
dividendo l'integrale in due pezzi con la formula d'eulero (non c'è un vero motivo per cui l'ho utilizzata, mi piaceva e basta) e tirando fuori il 2 al denominatore viene
$ pi i(2res(f,0) + res(f1,i) + res(f2,i)) $
dove f1 è l'esponenziale con esponente positivo, f2 l'altra...
risultato:
$ pii/(3e) (e^2-3e-1) $
$ pi i(2res(f,0) + res(f1,i) + res(f2,i)) $
dove f1 è l'esponenziale con esponente positivo, f2 l'altra...
risultato:
$ pii/(3e) (e^2-3e-1) $
Scusa ma il residuo in 0 non dovrebbe essere contato per metà visto che ha parte immaginaria nulla? e poi se il secondo esponenziale ha esponente negativo non dovresti considerare il residuo in -2j per f2?
no più che altro stavo pensando che ho detto una stupidata dato che non posso calcolare col lemma del grande cerchio una funzione del tipo
$ e^x/x^n $
in realtà neanche so se quell'integrale ha senso...
comunque si, se il polo ha parte immaginaria nulla va considerato per metà https://www.matematicamente.it/forum/lem ... 52-10.html
$ e^x/x^n $
in realtà neanche so se quell'integrale ha senso...
comunque si, se il polo ha parte immaginaria nulla va considerato per metà https://www.matematicamente.it/forum/lem ... 52-10.html
e come si fa allora? :S
potresti provare a scomporre in due integrali con la formula d'eulero poi scomporre in fratti semplici...
ragazzi aggiorno il topic con un nuovo integrale:
$ int_(-oo )^(+oo ) (cos^2(x))/(x^2+1)^2 dx $
come mi devo muovere?
Grazie in anticipo!
$ int_(-oo )^(+oo ) (cos^2(x))/(x^2+1)^2 dx $
come mi devo muovere?
Grazie in anticipo!
Innanzitutto, devi levare di mezzo quel quadrato del coseno e puoi farlo con la formula di bisezione.
Fatto ciò, puoi scoporre l'integrale in tre pezzi, il primo con integrando razionale, gli altri due con integrandi contenenti l'esponenziale complesso (basta usare le formule di Eulero per levare di mezzo il $\cos 2x$).
Infine, si usano tecniche standard, come i lemmi di Jordan.
Fatto ciò, puoi scoporre l'integrale in tre pezzi, il primo con integrando razionale, gli altri due con integrandi contenenti l'esponenziale complesso (basta usare le formule di Eulero per levare di mezzo il $\cos 2x$).
Infine, si usano tecniche standard, come i lemmi di Jordan.
ok, grazie mille! lunghetta come cosa ma mi sa che è l'unica...3 integrali con i residui in cui in ognuno ho un polo doppio in i...
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