Integrale con metodo dei residui

[ultrasnapoli87]

salve ragazzi avrei bisogno di un piccolo aiuto. Devo risolvere questo integrale con il metodo dei residui

$\oint \frac{z^2+2z+1}{sin(z+1)^{2}} $ dove $\Gamma =Fr[-2,4]^2$

Mi confermate che questa funzione ha un'unica singolarità nel punto $z=-1$ ed è di tipo polare oppure ce ne sono altre ??

Calcolando il residuo mi viene che l'integrale è uguale a $\oint f(z) dz= 2\pi iRf(-1)=-\pi i$

P.S. il quadrato è riferito solo all'argomento del seno, ovvero $(z+1)$

[dan952]

Che io sappia il residuo di una singolarità eliminabile è nullo, comunque ci dovrebbe essere anche la singolarità $z=\pi-1$ (polo di ordine 2).

[ultrasnapoli87]

scusa dan ma per il denominatore $z=-1$ non è uno zero del secondo oordine mentre per il numeratore del primo??

[dan952]

$z^2+2z+1=(z+1)^2$

[ultrasnapoli87]

scusa dan anche nell'altro punto mi viene il residuo uguale a zero può essere?

[dan952]

Come hai calcolato il residuo?

[ultrasnapoli87]

facendo il limite della derivata

[dan952]

$Res(\pi-1)=2(\pi-1)+2=2\pi$

[ultrasnapoli87]

scusa dan potresti indicarmi come hai fatto per arrivare a quel risultato

[dan952]

$\lim_{z \rightarrow \pi-1}\frac{d}{dz}[(z-\pi+1)^2 \frac{(z+1)^2}{\sin^2(z+1)}]$

[ultrasnapoli87]

scusa dan ma il limite da calcolare è questo essendo un polo del secondo ordine??

$\lim_{z->\pi -1} D[\frac{(z-\pi+1)^2(z^2+2z+1)}{sin(z+1)^2}]$

[dan952]

Si scusa ho sbagliato a scrivere, comunque il risultato non cambia, inoltre credo che basti proprio calcolare solo la derivata di $z^2+2z+1$ in $\pi-1$ ma non essendo sicuro preferisco usare la formula solita derivando $(z-\pi+1)^2 \frac{(z+1)^2}{\sin^2(z+1)}$ e facendo il limite