Integrale con la teoria dei residui
Calcolare:$\int (z/(1-cos z))dz$ lungo la circonferenza di centro l'origine e raggio pari a $3/2π$.
Le singolarità sono del tipo $z=2kπ$.All'interno del dominio che ha per frontiera il cerchio cade solo $z=0$.Dal teorema dei residui so che tale integrale è uguale a $2πj(R(0))$,dove $R(0)$ è il residuo calcolato in $z=0$.
Ora ho problemi a classificare $z=0$.Che tipo di singolarità isolata è?E' uno zero sia per il numeratore che per il denominatore,quindi non è detto che sia un polo.Ho provato a sviluppare in serie di Laurent per venire a capo della situazione:
$z/(1-cosz)=z/(1-(1-(z^2)/(2!)+(z^4)/(4!)+...))=(2!)/z-(4!)/z^3+(6!)/z^5$ e così via....Sembra essere una singolarità essenziale,solo che non tutti gli $a_(-n)$ sono diversi da zero....Come devo procedere?
Le singolarità sono del tipo $z=2kπ$.All'interno del dominio che ha per frontiera il cerchio cade solo $z=0$.Dal teorema dei residui so che tale integrale è uguale a $2πj(R(0))$,dove $R(0)$ è il residuo calcolato in $z=0$.
Ora ho problemi a classificare $z=0$.Che tipo di singolarità isolata è?E' uno zero sia per il numeratore che per il denominatore,quindi non è detto che sia un polo.Ho provato a sviluppare in serie di Laurent per venire a capo della situazione:
$z/(1-cosz)=z/(1-(1-(z^2)/(2!)+(z^4)/(4!)+...))=(2!)/z-(4!)/z^3+(6!)/z^5$ e così via....Sembra essere una singolarità essenziale,solo che non tutti gli $a_(-n)$ sono diversi da zero....Come devo procedere?
Risposte
oppure puoi fare il limite per z tendente a z0 (z-z0)^k*derivata k-1 esima di f(z)*1/(k-1)!
il minimo k tale che il limite risulta minore di infinito è pari all'ornne del polo
il minimo k tale che il limite risulta minore di infinito è pari all'ornne del polo
non mi è tanto chiaro.....anche perchè al momento vorrei capire se di polo si tratta...
$z/(z^2/(2!) - z^4/4! + ...)$ non è affatto uguale a ciò che hai scritto.
Comunque, data $z_0$ una singolarità isolata di $f(z)$ se $\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)$:
- esiste finito, allora la singolarità è eliminabile
- esiste, ma è infinito (positivo o negativo), allora è un polo
- non esiste, allora è una singolarità essenziale
in questo caso $\lim_{z\rightarrow 0} z/(1- cos(z)) = \infty$ quindi è un polo. Per vedere l'ordine $\lim_{z\rightarrow 0} z^k f(z) = c \noteq 0$ da cui ricaviamo $k=1$, quindi è un polo del primo ordine.
Quindi il residuo della funzione è $R_f(0) = 2$.
Comunque, data $z_0$ una singolarità isolata di $f(z)$ se $\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)$:
- esiste finito, allora la singolarità è eliminabile
- esiste, ma è infinito (positivo o negativo), allora è un polo
- non esiste, allora è una singolarità essenziale
in questo caso $\lim_{z\rightarrow 0} z/(1- cos(z)) = \infty$ quindi è un polo. Per vedere l'ordine $\lim_{z\rightarrow 0} z^k f(z) = c \noteq 0$ da cui ricaviamo $k=1$, quindi è un polo del primo ordine.
Quindi il residuo della funzione è $R_f(0) = 2$.
"Ska":
$z/(z^2/(2!) - z^4/4! + ...)$ non è affatto uguale a ciò che hai scritto.
Comunque, data $z_0$ una singolarità isolata di $f(z)$ se $\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)$:
- esiste finito, allora la singolarità è eliminabile
- esiste, ma è infinito (positivo o negativo), allora è un polo
- non esiste, allora è una singolarità essenziale
in questo caso $\lim_{z\rightarrow 0} z/(1- cos(z)) = \infty$ quindi è un polo. Per vedere l'ordine $\lim_{z\rightarrow 0} z^k f(z) = c \noteq 0$ da cui ricaviamo $k=1$, quindi è un polo del primo ordine.
Quindi il residuo della funzione è $R_f(0) = 2$.
Hai ragione,sarà stata l'ora
.Grazie mille
"Ska":
.
.
.
Comunque, data $z_0$ una singolarità isolata di $f(z)$ se $\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)$:
- esiste finito, allora la singolarità è eliminabile
- esiste, ma è infinito (positivo o negativo), allora è un polo
- non esiste, allora è una singolarità essenziale
.
.
.
Non ha senso, trattandosi di $CC$, dire che il limite sopra e' piu' o meno infinito - intendevi dire ovviamente che $\lim_{z\rightarrow z_0} |f(z)|=+\infty$
"ViciousGoblin":
Non ha senso, trattandosi di $CC$, dire che il limite sopra e' piu' o meno infinito - intendevi dire ovviamente che $\lim_{z\rightarrow z_0} |f(z)|=+\infty$
è vero, però quando converge a un valore in C, ha senso giusto?
"ayeyye":
[quote="ViciousGoblin"]
Non ha senso, trattandosi di $CC$, dire che il limite sopra e' piu' o meno infinito - intendevi dire ovviamente che $\lim_{z\rightarrow z_0} |f(z)|=+\infty$
è vero, però quando converge a un valore in C, ha senso giusto?[/quote]
Sì
Tieni comunque presente che, se $f$ e' olomorfa in un initorno di $z_0$ sono EQUIVALENTI
1) $f(z)$ ammette limite in $CC$ per $z\to z_0$;
2) $f(z)$ e' limitata in un intorno di $z_0$
e che 2) che si puo' esprimere dicendo $\lim"sup"_{z\to z_0}|f(z)|<+\infty$
ma lo sviluppo di laurent di quella? mi sembra tosto, come lo fareste?
in 0. giusto per curiosità ^_^
Per "darinter",
se ti interessa, giusto per curiosità, c'è un mio lavoro, intitolato "Un metodo per la risoluzione di integrali fratti" rivolto alla teoria dei resuidi, pubblicato su matematicamente.it-Magazine n°2....qui sotto ti riporto il link
https://www.matematicamente.it/il_magazi ... 070402123/
Ciao
se ti interessa, giusto per curiosità, c'è un mio lavoro, intitolato "Un metodo per la risoluzione di integrali fratti" rivolto alla teoria dei resuidi, pubblicato su matematicamente.it-Magazine n°2....qui sotto ti riporto il link
https://www.matematicamente.it/il_magazi ... 070402123/
Ciao
"ayeyye":
in 0. giusto per curiosità ^_^
Non ti so scrivere al momento una formula generale ma ti saprei ricavare i coefficienti uno alla volta usando la serie di Taylor per il coseno e quella
di $(1-z)^{-1$.
Vediamo se mi riesco a spiegare, abbiamo
$f(z)=\frac{z}{1-cos(z)}=\frac{z}{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}}=-\frac{z}{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}}=-\frac{1}{z\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n-2}}{(2n)!}}=1/z(1/2-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n-2}}{(2n)!})^{-1}= 2/z (1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(-1)^nz^{2n+2}}{(2n+4)!})^{-1} $ (*)
(se non ho sbagliato i calcoli). A questo punto dobbiamo ricordare che
$(1-y)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty y^n$ e comporre le due formule cioe' usare $y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(-1)^nz^{2n+2}}{(2n+4)!}$.
Per esempio se vogliamo i primi due termini dello sviluppo di Laurent possiamo scrivere (sempre modulo errori di calcolo ...)
$f(z)=2/z(1-1/12 z^2+1/360 z^4+O(z^6))^{-1}=2/z(1 + (1/12 z^2-1/360 z^4+O(z^6))+(1/12 z^2+O(z^4))^2 +O( O(z^2)^3) )=$
$2/z( 1 +1/12 z^2-1/360 z^4 +1/144 z^4 +O(z^6) )= 2/z+z/6+z^3/120+O(z^5)$
Se vuoi il termine successivo devi tenerti i termini fino a $n=2$ nella serie (*) e usare $(1-y)^{-1}=1+y+y^2+y^3+O(y^4)$, e cosi' via, con calcoli sempre piu' complicati
(a meno che non si riesca a trovare una formula generale, da dimostra probabilmente per induzione).
un casino quindi. però si potrebbe anche provare con la definizione di sviluppo di laurent e cioè risolvere l'integrale curvilineo per calcolare i coefficienti, ma temo che sia di complessità anche maggiore.
si lo sviluppo sembra tosto...cmq per la faccenda dell'ordine del polo sono abituato ad assumere che sia uguale all'ordine dello zero della funzione inversa...in questo caso la derivata prima di $(1 - cos z )/z$ vale $(sin z)/z - (cos z)/(z^2)$ e diverge per $z->0$ quindi mi verrebbe da concludere che annullandosi solo la funzione il polo sia semplice. E' sbagliato ragionare così?
"alle.fabbri":
si lo sviluppo sembra tosto...cmq per la faccenda dell'ordine del polo sono abituato ad assumere che sia uguale all'ordine dello zero della funzione inversa...in questo caso la derivata prima di $(1 - cos z )/z$ vale $(sin z)/z - (cos z)/(z^2)$ e diverge per $z->0$ quindi mi verrebbe da concludere che annullandosi solo la funzione il polo sia semplice. E' sbagliato ragionare così?
Se capisco intendi dire che $1/f$ ha in $z_0$ un polo di ordine $k$ se e solo se $f$ ha in $z_0$ uno zero di ordine $k$. Questo e' giusto.
Inoltre il polo e'semplice se e solo se $f'(z_0)\ne 0$ e in questo caso il residuo vale $\frac{1}{f'(z_0)}$.
Non mi tornano pero' i calcoli che riporti sopra. Se $f(z)=(1-cos(z))/z$ viene $f'(z)=\frac{z\sin(z)-1+\cos(z)}{z^2}=\frac{\sin(z)}{z}-\frac{1-\cos(z)}{z^2}\to 1-1/2=1/2$
(coerentemente col fatto, gia' visto in vari modi, che il polo e' semplice e il residuo e' $2$)
Sul fatto che lo sviluppo e' tosto ti faccio notare che con i conti che ho fatto ho trovato ben piu' dell'ordine del polo e del residuo (dato che ayeyye chiedeva se si
puo' trovare lo sviluppo completo). Per trovare solo il residuo vedi anche i post precedenti.
@ayeyye
Credo che gli integrali curvilinei siano una pessima idea. L' altrernativa a cio' che ho fatto io (di complessita' credo equivalente) e' di prendere
$g(z)=zf(z)$, che per quanto visto finora e' prolungabile a una funzione olomorfa, e calcolare le derivate di $g$ in zero (mediante $\lim_{z_to 0}g^{(k)}(z)$).
Allora $g(0)$ ti da' il residuo, $g'(0)$ il termine $a_0$ dello sviluppo di $f$, $g''(0)$ il termine $a_1$ dello sviluppo di $f$ e cosi' via ...
Ripeto che i calcoli mi sembrano paragonabili a quelli del mio post precedente (e comunque il problema originario richiedeva solo il calcolo del residuo).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo