Integrale con il teorema dei residui

[nostradamus19151]

Ho un dubbio su un passaggio riguardo questo integrale:
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^{az}}{1+e^z} \)
Devo integrare lungo la frontiera del rettangolo:
\(\displaystyle T_{r,\omega} : z=\{ z=x+iy : |x|<=r , 0<=y<=2 \pi \} \)
con \(\displaystyle a \in ]0,1[ \) e \(\displaystyle \omega = 2 \pi \)
Ho un polo del primo ordine in \(\displaystyle i \pi \) , trovo il residuo che è pari a \(\displaystyle -e^{i a \pi} \)
A questo punto non capisco il passaggio mostrato sul libro:
\(\displaystyle \int_{+\sigma T} f(z)dz = - 2 \pi i e^{i a \pi} = (1 - e^{2 \pi a i})\int_{-r}^{r} \frac{e^{ax}}{1+e^x}dx + \int_{0}^{2 \pi} \frac{e^{a(r+iy)}}{1+e^{r+iy}}dy - \int_{0}^{2 \pi} \frac{e^{a(-r+iy)}}{1+e^{-r+iy}}dy \)
Non capisco perché il primo integrale viene moltiplicato per \(\displaystyle (1 - e^{2 \pi a i}) \)
Suggerimenti?

[coffee2]

$(1-e^{2\pi ai})\int_{-r}^r\frac{e^{ax}}{1+e^x}dx$ è la somma degli integrali fatti sui lati orizzontali del rettangolo, essendo $e^x=e^{x+2\pi i}$.

[nostradamus19151]

Avevo intuito che era la somma delle due parti orizzontali, non capisco però perché è proprio quella quantità li. In base a quale teorema/ragionamento?

p.s.: Forse ci sono arrivato, qualcuno mi conferma che il procedimento sia il seguente?
\(\displaystyle \int_{-r}^r\frac{e^{a(x+i2\pi)}}{1+e^{x+i2\pi}}dx + \int_{-r}^r\frac{e^{ax}}{1+e^x}dx \)
Al primo integrale facendo varie trasformazioni mi trovo

[coffee2]

Il procedimento è quello, ma ci vuole un meno davanti al primo integrale (il lato superiore del rettangolo è percorso da destra verso sinistra).