Integrale con il teorema dei residui

[nostradamus19151]

Non riesco a capire dove sbaglio questo semplice integrale:
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{logx}{x^2+a^2} dx \)
nella corona
\(\displaystyle C_{r,R} = { z:r<=|z|<=R ; 0<=arg(z) <=\pi} \)
Devo applicare il teorema dei residui tenendo conto che la singolarità del primo ordine \(\displaystyle ja \) è situata in \(\displaystyle C_{r,R} \)
Calcolo il residuo di \(\displaystyle \frac{log(z)}{z^2+a^2} \) in \(\displaystyle ja \) e lo moltiplico per \(\displaystyle 2 \pi j \) e mi trovo
\(\displaystyle \pi \frac{2log(a)+j\pi}{2a} \) che non corrisponde al risultato riportato sul libro.

[MrMojoRisin891]

Attenzione alla funzione logaritmo, che in $CC$ ha infinite determinazioni, quindi ne devi scegliere una escludendo una semiretta uscente dall'origine del piano complesso; e tieni presente che quando estendi il logaritmo in variabile complessa ti viene:
$logz=log|z| + itheta$

[nostradamus19151]

Anche tenendo conto di ciò non riesco ad arrivare alla soluzione

[MrMojoRisin891]

il risultato dovrebbe venire $pi/a(loga+ipi/2)$?

[nostradamus19151]

E' quello che mi trovo anche io, il libro invece dice \(\displaystyle \pi \frac{log(a)}{2a} \)

[MrMojoRisin891]

Ma quello è il risultato finale; come hai scelto il cammino di integrazione?

[nostradamus19151]

Semicorona circolare superiore senso orario. Come fai a passare al risultato finale?

[MrMojoRisin891]

Esplicita gli integrali sui 4 cammini, 2 integrali tenderanno a 0, e la somma degli altri due darà quel risultato; ricordati di considerare solo la parte reale.

[nostradamus19151]

Veramente non riesco a capire. Una volta che applico il teorema dei residui non dovrebbe finire li l'esercizio, dato che calcolo quanto vale l'integrale?

[MrMojoRisin891]

Dai un'occhiata qui:
https://www.unisalento.it/c/document_li ... 183687.pdf

a pagina 160, l'esempio 6.10.4

[nostradamus19151]

Perfetto ho capito, ti ringrazio!