Integrale con il teorema dei residui
Salve,
ho dei dubbi nel calcolo di questo integrale con il teorema dei residui e spero qualcuno mi possa aiutare
$\int_{-oo}^{oo} 1/coshx dx$
Per svolgerlo io mi sono per prima cosa scritto il coseno iperbolico sotto forma di esponenziali per poi trovarmi che la funzione presenta un polo in z= $i*\pi/2$ . A questo punto vado a calcolare il residuo come:
$\lim_{z \to \i *\pi/2}((2/(e^z+e^-z))*(z-i* \pi/2))$
Il limite in questo modo è una forma indeterminata allora applico de l'Hôpital e mi trovo che il residuo vale 1/i e in questo modo l'integrale mi esce $(2\pii)(1/i)=2\pi$
Però naturalmente c'è qualcosa che non va dato che l'integrale deve uscire $\pi$.
So che attraverso una sostituzione l'integrando è una primitiva dell'arcotangente e perciò non c'è neanche bisogno del teorema dei residui ma il mio problema è che voglio capire cosa non funzione nel procedimento da me fatto.
ho dei dubbi nel calcolo di questo integrale con il teorema dei residui e spero qualcuno mi possa aiutare
$\int_{-oo}^{oo} 1/coshx dx$
Per svolgerlo io mi sono per prima cosa scritto il coseno iperbolico sotto forma di esponenziali per poi trovarmi che la funzione presenta un polo in z= $i*\pi/2$ . A questo punto vado a calcolare il residuo come:
$\lim_{z \to \i *\pi/2}((2/(e^z+e^-z))*(z-i* \pi/2))$
Il limite in questo modo è una forma indeterminata allora applico de l'Hôpital e mi trovo che il residuo vale 1/i e in questo modo l'integrale mi esce $(2\pii)(1/i)=2\pi$
Però naturalmente c'è qualcosa che non va dato che l'integrale deve uscire $\pi$.
So che attraverso una sostituzione l'integrando è una primitiva dell'arcotangente e perciò non c'è neanche bisogno del teorema dei residui ma il mio problema è che voglio capire cosa non funzione nel procedimento da me fatto.
Risposte
C'è qualcuno che riesce ad aiutarmi??
Provo a darti un'idea generale poi tu sviluppi i calcoli:
Il metodo da te usato non va bene.Suppongo che tu abbia chiuso con una semicirconferenza nel semi piano superiore, tuttavia la funzione $1/cosh(x)$ presenta infinite singolarità nel semipiano poichè ha periodicità.
Il trucco è il seguente: considera un percorso rettangolare formato da un segmento $[-a;a]$ sull'asse x, $[a,a+ipi]$ in verticale, $[a+ipi;-a+ipi]$ e infine torni al punto di partenza col segmento $[-a+pi;-a]$.
Ora calcoli l'integrale lungo il circuito col metodo dei residui è viene $2pi$.(NB: dentro il circuito ora hai solo UNA singolarità).
Ora ti rimane calcolare l'integrale sulle bande laterali e mostrare come questi vadano a zero per $a->+infty$ e infine mostrare come l'integrale sui tratti orizzontali è uguale. Allora l'integrale sui tratto $[-a;a]$ per $a->+infty$ è meta di $2pi$ ossia $pi$.
Il metodo da te usato non va bene.Suppongo che tu abbia chiuso con una semicirconferenza nel semi piano superiore, tuttavia la funzione $1/cosh(x)$ presenta infinite singolarità nel semipiano poichè ha periodicità.
Il trucco è il seguente: considera un percorso rettangolare formato da un segmento $[-a;a]$ sull'asse x, $[a,a+ipi]$ in verticale, $[a+ipi;-a+ipi]$ e infine torni al punto di partenza col segmento $[-a+pi;-a]$.
Ora calcoli l'integrale lungo il circuito col metodo dei residui è viene $2pi$.(NB: dentro il circuito ora hai solo UNA singolarità).
Ora ti rimane calcolare l'integrale sulle bande laterali e mostrare come questi vadano a zero per $a->+infty$ e infine mostrare come l'integrale sui tratti orizzontali è uguale. Allora l'integrale sui tratto $[-a;a]$ per $a->+infty$ è meta di $2pi$ ossia $pi$.
Ok il procedimento l'ho capito ma perchè scelgo proprio quel percorso rettangolare?
Quando ho funzioni che sono periodiche devo sempre cercare di racchiudere una sola singolarità e calcolare l'iintegrale come hai fatto tu??
Quando ho funzioni che sono periodiche devo sempre cercare di racchiudere una sola singolarità e calcolare l'iintegrale come hai fatto tu??
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