Integrale con il metodo dei residui
Salve a tutti,
ho urgente bisogno di capire come svolgere un integrale con il metodo dei residui.
L'integrale è il seguente:
$\int_{|z-2i|=8} \frac{z(x^2+4\pi^2)}{1-cosh(z)} dz$
Come devo procedere? Il cammino di integrazione è la circonferenza centrata nel punto complesso 2i e di raggio 8, quindi ho provato a parametrizzare la suddetta curva in questo modo:
$\gamma: z=8e^{i\theta}$ con $\theta \in [0,2\pi]$
ma poi cosa devo fare? Vorrei ricondurmi al procedimento simile che si usa sulla circonferenza unitaria, ma non trovo il modo giusto.
Spero possiate aiutarmi presto anche perchè domani ho l'esame! XD
ho urgente bisogno di capire come svolgere un integrale con il metodo dei residui.
L'integrale è il seguente:
$\int_{|z-2i|=8} \frac{z(x^2+4\pi^2)}{1-cosh(z)} dz$
Come devo procedere? Il cammino di integrazione è la circonferenza centrata nel punto complesso 2i e di raggio 8, quindi ho provato a parametrizzare la suddetta curva in questo modo:
$\gamma: z=8e^{i\theta}$ con $\theta \in [0,2\pi]$
ma poi cosa devo fare? Vorrei ricondurmi al procedimento simile che si usa sulla circonferenza unitaria, ma non trovo il modo giusto.
Spero possiate aiutarmi presto anche perchè domani ho l'esame! XD
Risposte
Per prima cosa trova le singolarità della funzione $f(z)$ che stai integrando e individua quelle che si trovano all'interno della circonferenza $| z - 2i | = 8$.
EDIT: $gamma$ comunque sarebbe $z(theta) = 8 e^(i theta) + 2i$
EDIT: $gamma$ comunque sarebbe $z(theta) = 8 e^(i theta) + 2i$
L'ho fatto, l'unico polo è z=0 ed è di ordine uno, ma poi come calcolo il residuo? Devo fare qualche sostituzione?
Non è quello l'unico polo che cade all'interno del tuo circuito; anche $2 pi i \in B_8 (2i)$ è un punto di singolarità per la funzione, per esempio.
Il residuo in $0$ si può calcolare scrivendo il coefficiente $a_(-1)$ della serie di Laurent. Infatti:
$\frac{z(z^2+4\pi^2)}{1-cosh(z)} = z * (z - 2 pi i)(z + 2 pi i) * 1/( - z^2/2 - z^4/24 - ... ) = 1/z * (z - 2 pi i)(z + 2 pi i) * 1/( - 1/2 - z^2/24 - ... )$
La funzione $1/( - 1/2 - z^2/24 - ... )$ è olomorfa in un intorno del punto $0$ (il denominatore è una serie di potenze che non si annulla nel punto $z=0$) e si potrà quindi scrivere $1/( - 1/2 - z^2/24 - ... ) = - 2 + sum_(k=1)^(+oo) b_k z^k$
Allora: $\frac{z(z^2+4\pi^2)}{1-cosh(z)} = 1/z * (z^2 + 4 pi^2) * (- 2 + sum_(k=1)^(+oo) b_k z^k) = (z + (4 pi^2)/z ) * (- 2 + sum_(k=1)^(+oo) b_k z^k) =$
$= - 8 pi^2/z - 2 z + g(z)$ , $g(z)$ resto olomorfo.
Quindi $Res(f, 0) = - 8 pi^2$ .
Il residuo in $0$ si può calcolare scrivendo il coefficiente $a_(-1)$ della serie di Laurent. Infatti:
$\frac{z(z^2+4\pi^2)}{1-cosh(z)} = z * (z - 2 pi i)(z + 2 pi i) * 1/( - z^2/2 - z^4/24 - ... ) = 1/z * (z - 2 pi i)(z + 2 pi i) * 1/( - 1/2 - z^2/24 - ... )$
La funzione $1/( - 1/2 - z^2/24 - ... )$ è olomorfa in un intorno del punto $0$ (il denominatore è una serie di potenze che non si annulla nel punto $z=0$) e si potrà quindi scrivere $1/( - 1/2 - z^2/24 - ... ) = - 2 + sum_(k=1)^(+oo) b_k z^k$
Allora: $\frac{z(z^2+4\pi^2)}{1-cosh(z)} = 1/z * (z^2 + 4 pi^2) * (- 2 + sum_(k=1)^(+oo) b_k z^k) = (z + (4 pi^2)/z ) * (- 2 + sum_(k=1)^(+oo) b_k z^k) =$
$= - 8 pi^2/z - 2 z + g(z)$ , $g(z)$ resto olomorfo.
Quindi $Res(f, 0) = - 8 pi^2$ .
"annuk2889":
$\int_{|z-2i|=8} \frac{z(x^2+4\pi^2)}{1-cosh(z)} dz$
Sempre che la $x$ ti sia scappata per sbaglio...
No no, la x c'era! 
però vabbè ho capito l'idea!
però vabbè ho capito l'idea!
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