Integrale con il Metodo dei Residui
Salve a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sulla risoluzione di un integrale con il metodo dei residui.
L'integrale è il seguente
$int_(∂D)((1+cos(z))(4z-3pi))/( (z-pi)^3*cos^2(2z))dz$
$D={z\inC: |z-pi|
Gli zeri del numeratore sono: $z=pi$ del 2° Ordine, $z=3/4pi$ del 1° Ordine.
Gli zeri del denominatore sono: $z=pi$ del 3° Ordine, $z=pi/2$ del 2° Ordine.
Allora $z=pi$ è del primo e $z=pi/2$ del secondo e per il teorema dei residui
$int_(∂D)((1+cos(z))(4z-3pi))/( (z-pi)^3*cos^2(2z)) = 2pij(Res(pi)+Res(pi/2))$
Il $Res(pi)=pi/2$
L'altro residuo essendo del secondo ordine , mi costringe ad effettuare una derivata abbastanza inquientante, volevo capire se il procedimento è corretto, o se ho sbagliato qualcosa.
L'integrale è il seguente
$int_(∂D)((1+cos(z))(4z-3pi))/( (z-pi)^3*cos^2(2z))dz$
$D={z\inC: |z-pi|
Gli zeri del numeratore sono: $z=pi$ del 2° Ordine, $z=3/4pi$ del 1° Ordine.
Gli zeri del denominatore sono: $z=pi$ del 3° Ordine, $z=pi/2$ del 2° Ordine.
Allora $z=pi$ è del primo e $z=pi/2$ del secondo e per il teorema dei residui
$int_(∂D)((1+cos(z))(4z-3pi))/( (z-pi)^3*cos^2(2z)) = 2pij(Res(pi)+Res(pi/2))$
Il $Res(pi)=pi/2$
L'altro residuo essendo del secondo ordine , mi costringe ad effettuare una derivata abbastanza inquientante, volevo capire se il procedimento è corretto, o se ho sbagliato qualcosa.
Risposte
C'è sempre l'identità:
$cos^2x=(cos2x+1)/(2)$
Non sono sicuro se vale anche con $x\inCC$, ma direi di si.
$cos^2x=(cos2x+1)/(2)$
Non sono sicuro se vale anche con $x\inCC$, ma direi di si.
Come può tornarmi utile?
Concordi sul resto? Bisogna calcolare il residuo della funzione in $pi/2$ 2°ordine?
Concordi sul resto? Bisogna calcolare il residuo della funzione in $pi/2$ 2°ordine?
@ enzialdiff: Non hai sbagliato nulla.
Devi solo calcolare una derivata un po' noiosa e scriverla decentemente.
Curiosità: dove studi?
Devi solo calcolare una derivata un po' noiosa e scriverla decentemente.
Curiosità: dove studi?
"gugo82":
Curiosità: dove studi?
Napoli, è un traccia di Ferone.
Mi sono fatto dare una mano da Wolfram dovrebbe essere zero il residuo. Mi diverto con la derivata.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 282z%29%29
"enzialdiff":
[quote="gugo82"]Curiosità: dove studi?
Napoli, è un traccia di Ferone.
[/quote]Immaginavo...
Altro integrale , questa volta non è su un dominio.
$int_-infty^(+infty)(cos(x)sen(x))/(x(x^2-4x+8)^2)dx$
Usando i lemmi di Jordan si ha che è $= 2pij(Res(2+2j)+1/2Res(0))$
C'è un metodo particolare per calcolare il residuo in quel punto? Perchè vengono dei calcoli abbastanza lunghi..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=po ... 5E2%29%29+
$int_-infty^(+infty)(cos(x)sen(x))/(x(x^2-4x+8)^2)dx$
Usando i lemmi di Jordan si ha che è $= 2pij(Res(2+2j)+1/2Res(0))$
C'è un metodo particolare per calcolare il residuo in quel punto? Perchè vengono dei calcoli abbastanza lunghi..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=po ... 5E2%29%29+
Che funzione complessa ausiliaria hai usato?
(Non mi dire che hai usato seni e coseni complessi, perché è sbagliatissimo... Vedi qui e mio commento seguente.)
(Non mi dire che hai usato seni e coseni complessi, perché è sbagliatissimo... Vedi qui e mio commento seguente.)
Si gugo82 ho usato sen e cos complessi; in realtà mi sa che non ho capito come trovare la funzione complessa ausiliaria.. 
Quando ci sono seni e coseni si sfrutta quasi sempre l'esponenziale complesso.
Ad esempio, nel tuo caso l'integrando (che è sommabile, perché non ha punti di discontinuità brutti ed all'infinito è infinitesimo d'ordine sufficientemente elevato) si può riscrivere usando la formula di duplicazione del seno: infatti è:
\[
\frac{\cos x\ \sin x}{x(x^2-4x+8)^2} = \frac{1}{2}\ \frac{2\ \cos x\ \sin x}{x(x^2-4x+8)^2} = \frac{1}{2}\ \frac{\sin (2x)}{x(x^2-4x+8)^2}\; .
\]
Quindi hai da calcolare:
\[
\frac{1}{2}\ \intop_{-\infty}^\infty \frac{\sin (2x)}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x\; .
\]
Ora, nota che \(\sin (2x) = \operatorname{Im} (e^{2\jmath\ x})\) (per l'identità di Eulero), sicché il tuo integrale lo riscrivi in maniera semplice come:
\[
\frac{1}{2}\ \intop_{-\infty}^\infty \frac{\sin (2x)}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \frac{1}{2}\ \operatorname{Im} \left( \intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x\right) \; .
\]
Dato che la nuova funzione integranda altro non è che la restrizione di:
\[
f(z):= \frac{e^{2\jmath\ z}}{z(z^2-4z+8)^2}
\]
all'asse reale, cioé visto che \(f(z)\Big|_{z=x} = \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\), è evidente che la \(f\) è la funzione ausiliaria giusta per calcolare l'integrale reale richiesto.
Quindi niente seni e coseni complessi; solo esponenziali.
Per concludere il calcolo, bisogna scegliersi un buon cammino d'integrazione. Chiaramente, il cammino dovrà contenere un pezzo di asse reale del tipo \([-R,R]\) con \(R>0\) da mandare al limite. Tuttavia la \(f(z)\) presenta una singolarità in \(0\), quindi non è possibile prendere \([-R,R]\) perché bisogna aggirare la singolarità; pertanto prendo due intervalli del tipo \([-R,-r]\) ed \([r,R]\), con \(R>r>0\) da mandare al limite (in particolare \(r\to 0^+\) e \(R\to +\infty\)).
L'unica cosa che rimane da fare è scegliere come chiudere il cammino.
Le curve da scegliere devono essere fissate in modo da poter applicare Jordan, quindi preferirei fossero archi di circonferenza; dato che esse devono passare per i punti \((\pm R,0)\) e \((\pm r,0)\), scelgo le circonferenze di centro \(0\) e raggi \(R\) ed \(r\).
Però... Quale delle due semicirconferenze prendere? Quella nel semipiano dei coefficienti immaginari positivi o in quello dei coefficienti dell'immaginario negativi?
Per scegliere l'arco giusto, devo necessariamente controllare dove sono soddisfatte le ipotesi dell'arco grande di Jordan.
Per verificarle, noto che per noti fatti (leggi, per l'identità di Eulero) ho:
\[
|e^{2\jmath\ z}| = |e^{-2\operatorname{Im} z + 2\jmath\ \operatorname{Re} z}| = e^{-2\operatorname{Im} z}
\]
quindi:
\[
|f(z)| = \frac{e^{-2\operatorname{Im} z}}{|z|\ |z^2-4z+8|^2}
\]
e tale quantità tende a zero quando \(|z|\to \infty\) solo se \(\operatorname{Im} z\geq 0\) (altrimenti, l'esponenziale al numeratore farebbe divergere tutto!); perciò, se voglio soddisfare l'ipotesi di Jordan, cioé:
\[
\lim_{|z|\to \infty} z\ f(z) \text{ esiste finito,}
\]
devo necessariamente prendere la semicirconferenza che sta nel semipiano \(\operatorname{Im} z\geq 0\).
Analogamente, devo verificare sia soddisfatta l'ipotesi del lemma dell'arco piccolo, cioé:
\[
\lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z) \text{ esiste finito;}
\]
ma, calcolando esplicitamente, trovo:
\[
\lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z) = \lim_{|z|\to 0^+} \frac{e^{2\jmath\ z}}{(z^2-4z+8)^2} = \frac{1}{64}
\]
quindi sono a posto.
Allora chiamo \(\Omega (r,R)\) l'insieme delimitato dai segmenti \([-R,-r]\) e \([r,R]\) dell'asse reale, dalla semicirconferenza \(+\Gamma (R)\) di centro \(0\) ed estremi \((\pm R,0)\) e dalla semicirconferenza \(-\gamma (r)\) di centro \(0\) ed estremi \((\mp r,0)\).
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-4,0],[-0.5,0]); arc([0.5,0],[-0.5,0],0.5); line([0.5,0],[4,0]); arc([4,0],[-4,0],4);[/asvg]
Per il primo teorema dei residui, trovo:
\[
\int_{+\partial \Omega (R)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\jmath\ \sum_{z_k \text{ singolarità in } \Omega(r,R)} \operatorname{Res}(f;z_k)\; ;
\]
d'altro canto, ho pure:
\[
\int_{+\partial \Omega (r,R)} f(z)\ \text{d} z = \int_r^R \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x + \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z +\int_{-R}^{-r} \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x - \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z\; ,
\]
sicché:
\[
\left(\int_{-R}^{-r} +\int_r^R\right) \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z - \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z + 2\pi\jmath\ \sum_{z_k \text{ singolarità in } \Omega(r,R)} \operatorname{Res}(f;z_k)\; .
\]
L'unica singolarità di \(f\) interna ad \(\Omega(r,R)\) per \(R\) "grande" è \(z_1=2+2\jmath\), sicché mandando \(r,R\) al limite si trova:
\[
\intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z - \lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z + 2\pi\jmath\ \operatorname{Res}(f;2+2\jmath)\; .
\]
Per Jordan ho:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \jmath\ \lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z) \\
&= \frac{\pi}{64}\ \jmath\\
\lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \jmath\ \lim_{|z|\to \infty} z\ f(z) \\
&=0
\end{split}
\]
dunque:
\[
\intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \frac{\pi}{64}\ \jmath +2\pi\jmath\ \operatorname{Res}(f;2+2\jmath)\; ;
\]
d'altra parte, dato che \(2+2\jmath\) è un polo del secondo ordine e facendo i conti si trova:
\[
\operatorname{Res}(f;2+2\jmath) = -\left(\frac{5}{128} + \frac{3}{64}\jmath \right)\ e^{-4+4\jmath}
\]
quindi:
\[
\intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \frac{\pi}{64}\ \jmath +2\pi\jmath\ -\left(\frac{5}{128} + \frac{3}{64}\jmath \right)\ e^{-4+4\jmath}\; .
\]
Ricordando che l'integrale assegnato era metà del coefficiente dell'immaginario dell'integrale al primo membro della precedente, basta separare il reale dall'imaginario nel secondo membro e dividere per \(2\) per ottenere il risultato.
P.S.: Ho fatto le esercitazioni di Metodi per 2 anni di fila... Sempre così i compiti: pieni di contazzi inutili.
Ad esempio, nel tuo caso l'integrando (che è sommabile, perché non ha punti di discontinuità brutti ed all'infinito è infinitesimo d'ordine sufficientemente elevato) si può riscrivere usando la formula di duplicazione del seno: infatti è:
\[
\frac{\cos x\ \sin x}{x(x^2-4x+8)^2} = \frac{1}{2}\ \frac{2\ \cos x\ \sin x}{x(x^2-4x+8)^2} = \frac{1}{2}\ \frac{\sin (2x)}{x(x^2-4x+8)^2}\; .
\]
Quindi hai da calcolare:
\[
\frac{1}{2}\ \intop_{-\infty}^\infty \frac{\sin (2x)}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x\; .
\]
Ora, nota che \(\sin (2x) = \operatorname{Im} (e^{2\jmath\ x})\) (per l'identità di Eulero), sicché il tuo integrale lo riscrivi in maniera semplice come:
\[
\frac{1}{2}\ \intop_{-\infty}^\infty \frac{\sin (2x)}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \frac{1}{2}\ \operatorname{Im} \left( \intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x\right) \; .
\]
Dato che la nuova funzione integranda altro non è che la restrizione di:
\[
f(z):= \frac{e^{2\jmath\ z}}{z(z^2-4z+8)^2}
\]
all'asse reale, cioé visto che \(f(z)\Big|_{z=x} = \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\), è evidente che la \(f\) è la funzione ausiliaria giusta per calcolare l'integrale reale richiesto.
Quindi niente seni e coseni complessi; solo esponenziali.
Per concludere il calcolo, bisogna scegliersi un buon cammino d'integrazione. Chiaramente, il cammino dovrà contenere un pezzo di asse reale del tipo \([-R,R]\) con \(R>0\) da mandare al limite. Tuttavia la \(f(z)\) presenta una singolarità in \(0\), quindi non è possibile prendere \([-R,R]\) perché bisogna aggirare la singolarità; pertanto prendo due intervalli del tipo \([-R,-r]\) ed \([r,R]\), con \(R>r>0\) da mandare al limite (in particolare \(r\to 0^+\) e \(R\to +\infty\)).
L'unica cosa che rimane da fare è scegliere come chiudere il cammino.
Le curve da scegliere devono essere fissate in modo da poter applicare Jordan, quindi preferirei fossero archi di circonferenza; dato che esse devono passare per i punti \((\pm R,0)\) e \((\pm r,0)\), scelgo le circonferenze di centro \(0\) e raggi \(R\) ed \(r\).
Però... Quale delle due semicirconferenze prendere? Quella nel semipiano dei coefficienti immaginari positivi o in quello dei coefficienti dell'immaginario negativi?
Per scegliere l'arco giusto, devo necessariamente controllare dove sono soddisfatte le ipotesi dell'arco grande di Jordan.
Per verificarle, noto che per noti fatti (leggi, per l'identità di Eulero) ho:
\[
|e^{2\jmath\ z}| = |e^{-2\operatorname{Im} z + 2\jmath\ \operatorname{Re} z}| = e^{-2\operatorname{Im} z}
\]
quindi:
\[
|f(z)| = \frac{e^{-2\operatorname{Im} z}}{|z|\ |z^2-4z+8|^2}
\]
e tale quantità tende a zero quando \(|z|\to \infty\) solo se \(\operatorname{Im} z\geq 0\) (altrimenti, l'esponenziale al numeratore farebbe divergere tutto!); perciò, se voglio soddisfare l'ipotesi di Jordan, cioé:
\[
\lim_{|z|\to \infty} z\ f(z) \text{ esiste finito,}
\]
devo necessariamente prendere la semicirconferenza che sta nel semipiano \(\operatorname{Im} z\geq 0\).
Analogamente, devo verificare sia soddisfatta l'ipotesi del lemma dell'arco piccolo, cioé:
\[
\lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z) \text{ esiste finito;}
\]
ma, calcolando esplicitamente, trovo:
\[
\lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z) = \lim_{|z|\to 0^+} \frac{e^{2\jmath\ z}}{(z^2-4z+8)^2} = \frac{1}{64}
\]
quindi sono a posto.
Allora chiamo \(\Omega (r,R)\) l'insieme delimitato dai segmenti \([-R,-r]\) e \([r,R]\) dell'asse reale, dalla semicirconferenza \(+\Gamma (R)\) di centro \(0\) ed estremi \((\pm R,0)\) e dalla semicirconferenza \(-\gamma (r)\) di centro \(0\) ed estremi \((\mp r,0)\).
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-4,0],[-0.5,0]); arc([0.5,0],[-0.5,0],0.5); line([0.5,0],[4,0]); arc([4,0],[-4,0],4);[/asvg]
Per il primo teorema dei residui, trovo:
\[
\int_{+\partial \Omega (R)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\jmath\ \sum_{z_k \text{ singolarità in } \Omega(r,R)} \operatorname{Res}(f;z_k)\; ;
\]
d'altro canto, ho pure:
\[
\int_{+\partial \Omega (r,R)} f(z)\ \text{d} z = \int_r^R \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x + \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z +\int_{-R}^{-r} \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x - \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z\; ,
\]
sicché:
\[
\left(\int_{-R}^{-r} +\int_r^R\right) \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z - \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z + 2\pi\jmath\ \sum_{z_k \text{ singolarità in } \Omega(r,R)} \operatorname{Res}(f;z_k)\; .
\]
L'unica singolarità di \(f\) interna ad \(\Omega(r,R)\) per \(R\) "grande" è \(z_1=2+2\jmath\), sicché mandando \(r,R\) al limite si trova:
\[
\intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z - \lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z + 2\pi\jmath\ \operatorname{Res}(f;2+2\jmath)\; .
\]
Per Jordan ho:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (r)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \jmath\ \lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z) \\
&= \frac{\pi}{64}\ \jmath\\
\lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \jmath\ \lim_{|z|\to \infty} z\ f(z) \\
&=0
\end{split}
\]
dunque:
\[
\intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \frac{\pi}{64}\ \jmath +2\pi\jmath\ \operatorname{Res}(f;2+2\jmath)\; ;
\]
d'altra parte, dato che \(2+2\jmath\) è un polo del secondo ordine e facendo i conti si trova:
\[
\operatorname{Res}(f;2+2\jmath) = -\left(\frac{5}{128} + \frac{3}{64}\jmath \right)\ e^{-4+4\jmath}
\]
quindi:
\[
\intop_{-\infty}^\infty \frac{e^{2\jmath\ x}}{x(x^2-4x+8)^2}\ \text{d} x = \frac{\pi}{64}\ \jmath +2\pi\jmath\ -\left(\frac{5}{128} + \frac{3}{64}\jmath \right)\ e^{-4+4\jmath}\; .
\]
Ricordando che l'integrale assegnato era metà del coefficiente dell'immaginario dell'integrale al primo membro della precedente, basta separare il reale dall'imaginario nel secondo membro e dividere per \(2\) per ottenere il risultato.
P.S.: Ho fatto le esercitazioni di Metodi per 2 anni di fila... Sempre così i compiti: pieni di contazzi inutili.
Grazie mille gugo82, il tuo post è da stampare e incorniciare. 
Nel caso in cui al numeratore si abbia l'espressione $sen(x)+cos(x)$ si procede sempre usando l'esponenziale complesso?
$int_-infty^(+infty) (sen(x)+cos(x))/(x(x+j)(x^2+2x+2)) dx = int_-infty^(+infty) (e^(jx)(1+j))/(2jx(x+j)(x^2+2x+2)) dx + int_-infty^(+infty) (e^(-jx)(-1+j))/(2jx(x+j)(x^2+2x+2)) $
Usando $sen(x)+cos(x)=(e^(jx)+e^(-jx))/2+(e^(jx)-e^(-jx))/(2j)= (e^(jx)(1+j)+e^(-jx)(-1+j))/(2j)$
Che idea ti sei fatto? I conti servono da ulteriore "filtro"? Dal punto di vista didattico secondo me sono anche deleteri perchè a volte perdi di vista il fine dell'esercizio.
$int_-infty^(+infty) (sen(x)+cos(x))/(x(x+j)(x^2+2x+2)) dx = int_-infty^(+infty) (e^(jx)(1+j))/(2jx(x+j)(x^2+2x+2)) dx + int_-infty^(+infty) (e^(-jx)(-1+j))/(2jx(x+j)(x^2+2x+2)) $
Usando $sen(x)+cos(x)=(e^(jx)+e^(-jx))/2+(e^(jx)-e^(-jx))/(2j)= (e^(jx)(1+j)+e^(-jx)(-1+j))/(2j)$
"gugo82":
P.S.: Ho fatto le esercitazioni di Metodi per 2 anni di fila... Sempre così i compiti: pieni di contazzi inutili.
Che idea ti sei fatto? I conti servono da ulteriore "filtro"? Dal punto di vista didattico secondo me sono anche deleteri perchè a volte perdi di vista il fine dell'esercizio.
Dovrebbe andar bene come hai fatto.
In questo caso non avresti potuto usare l'uguaglianza:
\[
\sin x+ \cos x = \sqrt{2}\ \sin \left( x+\frac{\pi}{4}\right)
\]
(che viene dalla formula di addizione del seno) e la funzione ausiliaria:
\[
f(z) := \frac{e^{\jmath(z+\pi/4)}}{z(z+\jmath)(z^2+2z+2)}\; .
\]
Infatti la funzione integranda assume valori complessi (per "colpa" del fattore \(x+\jmath\) al denominatore), ergo non avrebbe avuto alcun senso scrivere il tuo integrale come parte reale di un integrale della funzione ausiliaria.
Per il P.S., non so che dirti nello specifico, perciò farò un discorso generale.
Ho rivisto esercizi di Metodi di mio padre (laurea in ingegneria elettronica nel '78) ed erano molto più contosi di quelli attuali, sia nel calcolo delle trasformate sia nel calcolo degli integrali.
Pur semplificati rispetto a quelli "vecchi", i testi d'esame proposti ai giorni nostri non fanno altro che perpetrare lo stereotipo più brutto che potrebbe trasparire da quelli vecchi ad un occhio inesperto: l'ingegnere, anche non capendo un cavolo di Matematica, almeno sà fare i conti.
Tuttavia, con gli ordinamenti attuali, nei quali corsi "seri" (come quelli di Analisi) vengono svolti nell'arco di tre mesi scarsi di lezione e per lo più in parallelo con altri corsi altrettanto "seri", c'è poco tempo per far maturare agli studenti una fondata consapevolezza di ciò che imparano; inoltre, c'è poco tempo e poca "manodopera" per tentare altro tipo di valutazione (e.g., prove intercorso, homework, attività di altro tipo) e c'è troppo affollamento per valutare in maniera sensata la partecipazione attiva alla lezione (ammesso e non concesso che vi sia).
A fronte di ciò, è chiaro che la scelta preferita da alcuni docenti sia di appiattirsi sulla valutazione della "manualità" del candidato, cioé sulla velocità di calcolo, piuttosto che su altri fattori forse più importanti (dato che ormai i PC fanno i conti meglio e più velocemente degli umani).
In questo caso non avresti potuto usare l'uguaglianza:
\[
\sin x+ \cos x = \sqrt{2}\ \sin \left( x+\frac{\pi}{4}\right)
\]
(che viene dalla formula di addizione del seno) e la funzione ausiliaria:
\[
f(z) := \frac{e^{\jmath(z+\pi/4)}}{z(z+\jmath)(z^2+2z+2)}\; .
\]
Infatti la funzione integranda assume valori complessi (per "colpa" del fattore \(x+\jmath\) al denominatore), ergo non avrebbe avuto alcun senso scrivere il tuo integrale come parte reale di un integrale della funzione ausiliaria.
Per il P.S., non so che dirti nello specifico, perciò farò un discorso generale.
Ho rivisto esercizi di Metodi di mio padre (laurea in ingegneria elettronica nel '78) ed erano molto più contosi di quelli attuali, sia nel calcolo delle trasformate sia nel calcolo degli integrali.
Pur semplificati rispetto a quelli "vecchi", i testi d'esame proposti ai giorni nostri non fanno altro che perpetrare lo stereotipo più brutto che potrebbe trasparire da quelli vecchi ad un occhio inesperto: l'ingegnere, anche non capendo un cavolo di Matematica, almeno sà fare i conti.
Tuttavia, con gli ordinamenti attuali, nei quali corsi "seri" (come quelli di Analisi) vengono svolti nell'arco di tre mesi scarsi di lezione e per lo più in parallelo con altri corsi altrettanto "seri", c'è poco tempo per far maturare agli studenti una fondata consapevolezza di ciò che imparano; inoltre, c'è poco tempo e poca "manodopera" per tentare altro tipo di valutazione (e.g., prove intercorso, homework, attività di altro tipo) e c'è troppo affollamento per valutare in maniera sensata la partecipazione attiva alla lezione (ammesso e non concesso che vi sia).
A fronte di ciò, è chiaro che la scelta preferita da alcuni docenti sia di appiattirsi sulla valutazione della "manualità" del candidato, cioé sulla velocità di calcolo, piuttosto che su altri fattori forse più importanti (dato che ormai i PC fanno i conti meglio e più velocemente degli umani).
Ulteriore integrale, in questo caso non mi è ben chiaro qual'è l'ordine delle singolarità.
$int_(∂D)(sen^2(piz))/( z^3(z^3-1)(e^(jpiz)+1)^2)dz$, dove $D=|z-1/2|<1$
Singolarità del Numeratore:
$z=0$ e $z=1$ perchè sono del tipo $z=k$ con $k=0,1$, inoltre essendo anche la derivata prima (non la seconda) di $sen^2(piz)$ annullata in $z=0$ e $z=1$ ho concluso che sono zeri del 3° Ordine per il numeratore.
Singolarità del Denominatore:
$z^3=0 ; z=0$ del 3° Ordine
$z^3-1=0 ; z=1, z=e^(2/3pij), z=e^(4/3pij)$ del 1° Ordine, ma solo $z=1 in D$
$(e^(jpiz)+1)^2=0 ; z=1+2k$ con $k=0,1$, allora $z=1$ e $z=3$ del 2°ordine, ma solo $z=1 in D$
Le singolarità z=0 e z=1 sono eliminabili e quindi il residuo sarà nullo, quindi l'integrale su $D$ è nullo.
E' corretto?
$int_(∂D)(sen^2(piz))/( z^3(z^3-1)(e^(jpiz)+1)^2)dz$, dove $D=|z-1/2|<1$
Singolarità del Numeratore:
$z=0$ e $z=1$ perchè sono del tipo $z=k$ con $k=0,1$, inoltre essendo anche la derivata prima (non la seconda) di $sen^2(piz)$ annullata in $z=0$ e $z=1$ ho concluso che sono zeri del 3° Ordine per il numeratore.
Singolarità del Denominatore:
$z^3=0 ; z=0$ del 3° Ordine
$z^3-1=0 ; z=1, z=e^(2/3pij), z=e^(4/3pij)$ del 1° Ordine, ma solo $z=1 in D$
$(e^(jpiz)+1)^2=0 ; z=1+2k$ con $k=0,1$, allora $z=1$ e $z=3$ del 2°ordine, ma solo $z=1 in D$
Le singolarità z=0 e z=1 sono eliminabili e quindi il residuo sarà nullo, quindi l'integrale su $D$ è nullo.
E' corretto?
Posto un esercizio:
$int_(∂D)(cos((piz)/2))/( (z^2+j)(sen^2(piz)) )dz$, dove $D=|z|<3/2$
Singolarità del Numeratore:
$z=1$ del primo ordine.
Singolarità del Denominatore:
$z=e^((3pij)/4)$ , $z=-e^((3pij)/4)$ da $z^2+j=0$ del primo ordine e $z=0$ ,$ z=1$ del secondo ordine da $sen^2(piz)=0$.
Allora i residui da calcolare sono in $z=e^((3pij)/4)$ , $z=-e^((3pij)/4)$, $z=1$ del primo ordine e $z=0$ del secondo ordine.
Siete d'accordo?
$int_(∂D)(cos((piz)/2))/( (z^2+j)(sen^2(piz)) )dz$, dove $D=|z|<3/2$
Singolarità del Numeratore:
$z=1$ del primo ordine.
Singolarità del Denominatore:
$z=e^((3pij)/4)$ , $z=-e^((3pij)/4)$ da $z^2+j=0$ del primo ordine e $z=0$ ,$ z=1$ del secondo ordine da $sen^2(piz)=0$.
Allora i residui da calcolare sono in $z=e^((3pij)/4)$ , $z=-e^((3pij)/4)$, $z=1$ del primo ordine e $z=0$ del secondo ordine.
Siete d'accordo?
Nessuno?
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