Integrale con i sottolivelli

[erak]

Ciao a tutti! volevo sapere se in generale, se $f\geq 0$ si ha che
\[
f(x)=\int_0^\infty \chi_{\{f \]
e se è $0\leq f\leq t$ in $\Omega$ aperto, allora
\[
\int_\Omega fdx=t\int_\Omega dx-\int_0^t(\int_{\{f<\tau\}}dx)d\tau
\]
Il problema è che se valgono, allora riesco a dimostrare una certa cosa che so essere vera, il problema è che non so se sono vere le due relazioni sopra, e non saprei dimostrarle, soprattutto la seconda. So che se $a\leq f\leq b$ allora
\[
\int_\Omega fdx=\int_0^a dx+\int_a^b(\int_{\{f>\tau\}}dx)d\tau
\]
ma non so se vale l'analogo con $\{f<\tau\}$. Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno a capire meglio!

[dissonance]

"erak":Ciao a tutti! volevo sapere se in generale, se $f\geq 0$ si ha che
\[
f(x)=\int_0^\infty \chi_{\{f \]

E che significa questa formula? Non capisco... L'integrale di destra, non riesco ad attribuirgli un significato.

[erak]

la $\chi$ sta per la funzione caratteristica, dell'insieme $\{x:f(x)t$, ma non so se vale anche per $f

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[dissonance]

Si, si le notazioni sono chiare. E' che non capisco che senso abbia integrare rispetto a \(t\) la funzione \(\chi_{\{f < t\}}(x)\). Questa è una mappa che a \(t\) associa la funzione \(\chi_{\{f < t\}}\). Quindi non è ovvio interpretare quell'integrale, perché diventa un integrale in uno spazio di funzioni. Non è che intendevi qualcosa di più semplice, come ad esempio la formula seguente?
\[
\int_{\Omega} f\, dx=\int_0^\infty \lvert \{f >t\}\rvert\, dt = \int_0^\infty \left(\int_\Omega\chi_{\{f>t\}}(x)\, dx\right)\, dt\]

P.S.: \(\lvert \{f>t\}\rvert=\text{misura di }\{f>t\}.\)

[erak]

La tua formula è la stessa che ho scritto io! se non metti l'integrale su $\Omega$ esce $f=\int_0^\infty |f>t|=\int_0^\infty \chi_{f>t}dt$. E so che quella formula è vera. Il fatto è che non so se vale col minore! f

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[dissonance]

Ma no, che dici? Tu "semplifichi" l'integrale ad ambo i membri?!? Attenzione perché questa operazione non ha nessun senso.

In ogni modo la formula
\[\tag{!!}
\int_{\Omega} f\, dx=\int_0^\infty \lvert \{f \le t\}\rvert\, dt = \int_0^\infty \left(\int_\Omega\chi_{\{f\le t\}}(x)\, dx\right)\, dt\]
è falsa. E' facile fare un controesempio, prova con la funzione costante \(f(x)=1\) su \(\Omega=[0, 1]\).

[gugo82]

@erak: In generale vale la seguente proprietà:

Siano \(f:\Omega \to \mathbb{R}\) misurabile, \(g\in L^1(\Omega)\) ed \(a\leq b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\).
Se \(-\infty \[
\int_\Omega f(x)\ g(x)\ \text{d} x = a\int_\Omega g(x)\ \text{d} x + \int_a^b \left( \int_{\{f>t\}} g(x)\ \text{d} x\right)\ \text{d} t\; ,
\]
mentre se \(a\leq f(x)\leq b<+\infty\) per q.o. \(x\in \Omega\), allora si ha:
\[
\int_\Omega f(x)\ g(x)\ \text{d} x = b\int_\Omega g(x)\ \text{d} x - \int_a^b \left( \int_{\{f\leq t\}} g(x)\ \text{d} x\right)\ \text{d} t\; .
\]

Questo discende dal taorema di Fubini via qualche lemmino tecnico: trovi tutto, ad esempio, su Kesavan, Symmetrization and Applications.

In particolare, se \(\Omega\) ha misura finita, se \(f\) è limitata superiormente q.o. da \(b<+\infty\) e se \(g(x)=1\) in \(\Omega\), allora:
\[
\int_\Omega f(x)\ \text{d} x = b\ |\Omega| - \int_a^b \Big| \{f\leq t\}\Big|\ \text{d} t\; .
\]
Inoltre, puoi ben notare che questa formula dice un fatto elementare, alla fin fine...

[erak]

grazie gugo82! tra l'altro il problema mi e' sorto proprio leggendo il kesavan, perche' lui fa il caso del maggiore, ma non del minore. comunque se dici che c'e' una versione analoga per il minore, che e' quella che hai scritto, ed e' quella che intendevo io, va bene!