Integrale con i residui
l'integrale è questo
$\int_{0}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx$
ora la funzione integranda è pari pertanto $\int_{0}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx=1/2\int_{-infty}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx$
bene questo teorema si dovrebbe risolvere con il teorema dei residui e il lemma di jordan...
l'idea era quella di scrivere
$\int_{0}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx=1/(2i){int_{-infty}^{+infty} (cosx)/(x(x^2+4))dx+i int_{-infty}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx}=1/(2i)int_{-infty}^{+infty} (e^(ix))/(x(x^2+4))dx$
e estendere la mia funzione integranda a un certo circuito...quello che non ho capito è: come si prende il circuito?
$\int_{0}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx$
ora la funzione integranda è pari pertanto $\int_{0}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx=1/2\int_{-infty}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx$
bene questo teorema si dovrebbe risolvere con il teorema dei residui e il lemma di jordan...
l'idea era quella di scrivere
$\int_{0}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx=1/(2i){int_{-infty}^{+infty} (cosx)/(x(x^2+4))dx+i int_{-infty}^{+infty} (senx)/(x(x^2+4))dx}=1/(2i)int_{-infty}^{+infty} (e^(ix))/(x(x^2+4))dx$
e estendere la mia funzione integranda a un certo circuito...quello che non ho capito è: come si prende il circuito?
Risposte
Puoi provare con una semi-corona circolare...
Ho fatto i conti e tutto torna. Se non capisci come procedere, posta pure...
dunque la curva che devo prendere è una semi-corona circolare, che ho preso nel semipiano $Imz>0$, con un semicerchio nel punto 0, il punto critico dell'asse reale .....e poi che devo fare?? devo suddividere la mia corona nelle quattro parti e calcolare l'integrale su ciascuna di esse???
Esatto. Con un argomento identico a quello della dimostrazione del lemma di Jordan si dimostra che l'integrale (della funzione estesa) lungo l'arco di circonferenza più grande dà un contributo nullo quando mandi il raggio all'infinito.
Per la semicirconferenza più piccola si vede che, mandando il raggio a $0$, il contributo dell'integrale corrispondente è non nullo.
Per la semicirconferenza più piccola si vede che, mandando il raggio a $0$, il contributo dell'integrale corrispondente è non nullo.
ok allora proviamo: denotato con $r$ il raggio del semicerchio piccolo e con "R" il raggio del semicerchio più grande ho che, per il teorema dei residui
$\int_(delOmega(r,R)) (e^(iz))/(z(z^2+4))dz=2piiRes_(2i)(f)$
e prendendo il limite
$lim_((r->0^+)(R->+infty))\int_(delOmega(r,R)) (e^(iz))/(z(z^2+4))dz=2piiRes_(2i)(f)$
pertanto
$lim_((r->0^+)(R->+infty))\int_(delOmega(r,R)) (e^(iz))/(z(z^2+4))dz$=$int_{-infty}^{+infty} (e^(ix))/(x(x^2+4))dx+_(lim(r->0))\int_{Gamma_r}e^(iz)/(z(z^2+4))dz+_(lim(R->+infty))\int_{Gamma_R}e^(iz)/(z(z^2+4))dz$
ora per quanto riguarda $(lim(r->0))\int_{Gamma_r}e^(iz)/(z(z^2+4))dz$ dovrei avere che, per il lemma di jordan, esso è uguale a
$i(0-pi)b$ dove $b=lim_(z->0)z e^(iz)/(z(z^2+4))=1/4$, cioè $(lim(r->0))\int_{Gamma_r}e^(iz)/(z(z^2+4))dz=-ipi/4$
e per l'altro integrale cosa devo fare??? devo maggiorare l'integrale?
$\int_(delOmega(r,R)) (e^(iz))/(z(z^2+4))dz=2piiRes_(2i)(f)$
e prendendo il limite
$lim_((r->0^+)(R->+infty))\int_(delOmega(r,R)) (e^(iz))/(z(z^2+4))dz=2piiRes_(2i)(f)$
pertanto
$lim_((r->0^+)(R->+infty))\int_(delOmega(r,R)) (e^(iz))/(z(z^2+4))dz$=$int_{-infty}^{+infty} (e^(ix))/(x(x^2+4))dx+_(lim(r->0))\int_{Gamma_r}e^(iz)/(z(z^2+4))dz+_(lim(R->+infty))\int_{Gamma_R}e^(iz)/(z(z^2+4))dz$
ora per quanto riguarda $(lim(r->0))\int_{Gamma_r}e^(iz)/(z(z^2+4))dz$ dovrei avere che, per il lemma di jordan, esso è uguale a
$i(0-pi)b$ dove $b=lim_(z->0)z e^(iz)/(z(z^2+4))=1/4$, cioè $(lim(r->0))\int_{Gamma_r}e^(iz)/(z(z^2+4))dz=-ipi/4$
e per l'altro integrale cosa devo fare??? devo maggiorare l'integrale?
ok informo che ho messo a posto tutto e ora viene anche a me, e ringrazio seneca 
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