Integrale con i residui
Buongiorno, stamattina voglio postare un integrale che purtroppo non riesco a risolvere.
$ int_(-oo )^(+oo ) ((1)/(x^6 - 2x^3 + 4)) dx $
Ora posto qui il mio metodo di risoluzione:
Inizialmente ho visto se l'integrale converge, assicurandomi di poter procedere. Dopo di che sono passato alla funzione ausiliaria prendendo $ (e^(2pi*i*z))/(z^6 + 2z^3 + 4)) $ e svolgendo l'integrale a valor principale con il metodo dei residui.
Ho sostituito z^3 = t , ed ho trovato due poli $1-i*(3)^(1/3)$ e $1+i*(3)^(1/3)$. Quindi tramite la formula di De Moivre prendendo solo l'immaginario positivo ho trovato un polo triplo: $ 2(i^2)^(1/3) $.
Successivamente ho calcolato l'integrale moltiplicando per pi*j e prendendo solo la parte reale. Mi dite se ho ragionato bene??.
Grazie per l'aiuto
$ int_(-oo )^(+oo ) ((1)/(x^6 - 2x^3 + 4)) dx $
Ora posto qui il mio metodo di risoluzione:
Inizialmente ho visto se l'integrale converge, assicurandomi di poter procedere. Dopo di che sono passato alla funzione ausiliaria prendendo $ (e^(2pi*i*z))/(z^6 + 2z^3 + 4)) $ e svolgendo l'integrale a valor principale con il metodo dei residui.
Ho sostituito z^3 = t , ed ho trovato due poli $1-i*(3)^(1/3)$ e $1+i*(3)^(1/3)$. Quindi tramite la formula di De Moivre prendendo solo l'immaginario positivo ho trovato un polo triplo: $ 2(i^2)^(1/3) $.
Successivamente ho calcolato l'integrale moltiplicando per pi*j e prendendo solo la parte reale. Mi dite se ho ragionato bene??.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Non hai bisogno di quella funzione ausiliaria, è sufficiente $[f(z)=1/(z^6-2z^3+4)]$.
La scomposizione va bene?
Se prendo questa funzione ausiliaria successivamente devo prendere i valori reali o i valori immaginari?
Se prendo questa funzione ausiliaria successivamente devo prendere i valori reali o i valori immaginari?
Hai $[6]$ poli del prim'ordine corrispondenti alle soluzioni di $[z^3=1+-isqrt3]$. Dopo averli individuati, se chiudi il percorso sopra, devi calcolare i residui di quelli con parte immaginaria positiva. Inoltre, non avendo poli reali, non è necessario scomodare il valore principale.
Ciao. Anche io sto studiando da poco questo argomento quindi non garantisco l'esattezza di ciò che scriverò. Allora la funzione integranda è del tipo $(P(x))/(Q(x))$, con $P(x)=costante$ e $Q(x)$ privo di zeri reali. Quindi applicando il teroema dei residui hai che:
$int_(-infty)^(+infty) (P(x))/(Q(x))=2\pii(R[z_1]+....+R[z_n])$.
Quindi come vedi non bisogna considerare nè la parte reale nè la parte immaginaria.
Ti ripeto che ho affrontato questo argomento da poco quindi non considerare vero tutto ciò che ti ho detto.
$int_(-infty)^(+infty) (P(x))/(Q(x))=2\pii(R[z_1]+....+R[z_n])$.
Quindi come vedi non bisogna considerare nè la parte reale nè la parte immaginaria.
Ti ripeto che ho affrontato questo argomento da poco quindi non considerare vero tutto ciò che ti ho detto.
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