Integrale con i residui

[MacpMinsk]

Salve, volevo porre alla vostra attenzione questo integrale che non riesco a svolgere.

$ int_(-oo )^(oo ) (sin x)^3/x^3 dx $

allora inizialmete vedo se la funzione ammette punti di discontinuita` e mi accorgo che in x=0 ha una discontinuita` eliminabile.
Passando alla funzione ausiliaria non so quale prendere... il mio testo suggerisce : $ (3 e^(iz) - e^(3iz))/ z^3 $

Non riesco a spiegarmi questa cosa, io inizialmente ho pensato di scomporre sen^3 come sen^2 (x) * sen (x) e poi con le formule di bisezione. Ma utilizzando questo metodo non mi trovo. Grazie per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

La parte immaginaria della funzione proposta dal testo, quando viene valutata per $[z=x in RR]$, coincide con la funzione integranda a meno di un fattore costante:

$(3e^(iz)-e^(3iz))/z^3=$

$=(e^(iz)(3-e^(2iz)))/z^3=$

$=((cosz+isenz)(3-cos2z-isen2z))/z^3=$

$=((cosz+isenz)(3-cos^2z+sen^2z-2isenzcosz))/z^3=$

$=(3cosz-cos^3z+coszsen^2z-2icos^2zsenz+3isenz-icos^2zsenz+isen^3z+2coszsen^2z)/z^3=$

$=(3cosz-cos^3z+3coszsen^2z-3icos^2zsenz+3isenz+isen^3z)/z^3=$

$=(3cosz-cos^3z+3coszsen^2z+3isenz(1-cos^2z)+isen^3z)/z^3=$

$=(3cosz-cos^3z+3coszsen^2z+3isen^3z+isen^3z)/z^3=$

$=(3cosz-cos^3z+3coszsen^2z+4isen^3z)/z^3=$

$=(3cosz-cos^3z+3coszsen^2z)/z^3+i(4sen^3z)/z^3$

Inoltre, la parte reale della funzione medesima, quando viene valutata per $[z=x in RR]$, è una funzione dispari del suo argomento. Quindi:

$int_(-oo )^(+oo )(3cosx-cos^3x+3cosxsen^2x)/x^3dx=0$

nel senso del valore principale. Se completi il procedimento mediante un opportuno percorso d'integrazione, dovresti ottenere $[3/4pi]$.

[MacpMinsk]

Grazie per la risposta. Ma il miei dubbi erano su come arrivare alla funzione ausiliaria partendo al $ (sin(x))^3/(x)^3$

[Sk_Anonymous]

$[sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)] rarr [sin^3x=(e^(3ix)-3e^(ix)+3e^(-ix)-e^(-3ix))/(-8i)] rarr$

$rarr [sin^3x=1/4((3e^(ix)-e^(3ix))-(3e^(-ix)-e^(-3ix)))/(2i)] rarr [sin^3x=1/4Im(3e^(ix)-e^(3ix))]$

$[f(z)=3e^(iz)-e^(3iz)] rarr [sin^3x=1/4Imf(x)]$

[MacpMinsk]

Grazie

[duluomeray]

Una volta ottenuta la tua cosiddetta funzione ausiliaria, quale sarebbe l'opportuno percorso di integrazione che permette di valutare \( \int_{-\infty }^{+\infty} (sin(x))^3 / (x^3)\, dx \) come \( \frac 3 4 \cdot \pi \) ? Grazie