Integrale con i residui
Salve a tutti
oggi ho svolto lo scritto di metodi matematici
e c'era questo integrale tra meno infinito e piu infinito della funzione $sinx/(x(x+2i)^2)$
Volevo sapere se per svolgerlo potevo sostituire il $sinx$ con la sua formula di Eulero e svolgere l'integrale con i residui normalmente
Grazie mille
oggi ho svolto lo scritto di metodi matematici
e c'era questo integrale tra meno infinito e piu infinito della funzione $sinx/(x(x+2i)^2)$
Volevo sapere se per svolgerlo potevo sostituire il $sinx$ con la sua formula di Eulero e svolgere l'integrale con i residui normalmente
Grazie mille
Risposte
"dlbp":
e c'era questo $\int_(-\oo)^(+\oo)sinx/(x(x+2i)^2) " d"x$
Volevo sapere se per svolgerlo potevo sostituire il $sin x$ con la sua formula di Eulero e svolgere l'integrale con i residui normalmente.
Sì, si deve fare così.
Uno sarebbe tentato di sostituire [tex]$\sin x$[/tex] con [tex]$-\jmath e^{\jmath x}$[/tex] per poi separare reale ed immaginario, però questo trucco non può funzionare perchè a denominatore non c'è un polinomio che assume valori reali per [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] (anzi [tex]$x(x+2\jmath)^2$[/tex] è un numero complesso per [tex]$x$[/tex] reale).
La strategia giusta è far uscire da questo integrale due integrali (da svolgere con il teorema dei residui ed il primo lemma di Jordan) cioè:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x(x+2\jmath)^2}\ \text{d} x =\frac{1}{2\jmath} \left\{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{\jmath x}}{x(x+2\jmath)^2}\ \text{d} x -\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\jmath x}}{x(x+2\jmath)^2}\ \text{d} x\right\}$[/tex].
del primo integrale si prende la somma dei residui dei poli con parte immaginaria uguale a zero (moltiplicata per $1/2$) e dei poli con parte immaginaria maggiore di zero, il tutto moltiplicato per $2pi*i$
del secondo integrale si prende la somma dei residui dei poli con parte immaginaria uguale a zero (moltiplicata per $1/2$) e dei poli con parte immaginaria minore di zero, il tutto moltiplicato per $-2pi*i$
E' giusto così???
Grazie mille
del secondo integrale si prende la somma dei residui dei poli con parte immaginaria uguale a zero (moltiplicata per $1/2$) e dei poli con parte immaginaria minore di zero, il tutto moltiplicato per $-2pi*i$
E' giusto così???
Grazie mille
posso fare così allora?
A me i "si prende" buttati così senza una giustificazione plausibile non piacciono tanto.
Per calcolare quei due integrali si devono usare i lemmi di Jordan (tra l'altro sono due integrali a valore principale, con "problemi" in [tex]$0$[/tex]), quindi bisogna trovare dei semicerchi che servano allo scopo.
Il primo integrale lo si può scrivere come:
[tex]$\lim_{r\to 0^+, R\to +\infty} \int_{-R}^{-r} f(z)\ \text{d} z +\int_{r}^{R} f(z)\ \text{d} z$[/tex]
con [tex]$f(z):=\frac{e^z}{z(z+2\jmath)^2}$[/tex] e gli integrali estesi a due segmenti dell'asse reale che bisogna raccordare in qualche modo per ottenere un circuito chiuso al quale applicare il teorema dei residui; nel fare il raccordo, tuttavia, si deve tener presente che si vogliono applicare i lemmi di Jordan, quindi bisogna raccordare con archi di circonferenza in modo che, quando i raggi tendono a [tex]$0$[/tex] e [tex]$+\infty$[/tex], la funzione [tex]$zf(z)$[/tex] abbia limite finito ed uniforme rispetto all'argomento di [tex]$z$[/tex].
Nel caso in esame, il cerchio "grande" [tex]$\Gamma_R$[/tex] (quello di raggio [tex]$R$[/tex] che deve andare a [tex]$+\infty$[/tex]) va preso nel semipiano delle [tex]$\text{Im} z>0$[/tex], poichè facendo tale scelta si trova:
[tex]$0\leq \left| z\frac{e^{\jmath z}}{z(z+2\jmath)^2}\right| =\frac{e^{-\text{Im} z}}{|z+2\jmath|^2} \leq \frac{1}{||z|-2|^2}$[/tex]
e quindi [tex]$zf(z) \to 0$[/tex] per [tex]$z\to \infty$[/tex] uniformemente rispetto all'argomento; ovviamente, fatta tale scelta, il cerchio "piccolo" [tex]$\Gamma_r$[/tex] (quello di raggio [tex]$r$[/tex] che deve aggirare [tex]$0$[/tex]) va preso anche lui nel semipiano superiore e risulta:
[tex]$\lim_{z\to 0} zf(z)=\lim_{z\to 0} \frac{e^{\jmath z}}{(z+2\jmath)^2} =-\frac{1}{4}$[/tex]
anche lui uniformemente rispetto all'argomento, se non erro.
Quindi il circuito d'integrazione [tex]$\partial \Omega(r;R)$[/tex] è quello in figura:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; line([-3,0],[-0.5,0]);arc([0.5,0],[-0.5,0],0.5); line([0.5,0],[3,0]); arc([3,0],[-3,0],3);[/asvg]
e per [tex]$r$[/tex] piccolo ed [tex]$R$[/tex] grande il teorema dei residui implica:
[tex]$\int_{+\partial \Omega (r;R)} f(z)\text{d} z =0$[/tex]
sicché al limite:
(*) [tex]$\lim_{r\to 0^+, R\to +\infty} \int_{+\partial \Omega (r;R)} f(z)\text{d} z =0$[/tex];
ma per i lemmi di Jordan e la proprietà additiva dell'integrale è:
[tex]$\lim_{r\to 0^+, R\to +\infty} \int_{+\partial \Omega (r;R)} f(z)\text{d} z = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x -\lim_{r\to 0^+} \int_{\Gamma_r} f(z)\ \text{d} z +\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z)\ \text{d} z$[/tex]
[tex]$=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x -\pi \jmath\ \lim_{z\to 0} zf(z) +\pi \jmath\ \lim_{z\to \infty} zf(z)$[/tex]
[tex]$=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x +\pi \jmath \frac{1}{4}$[/tex],
sicché (*) implica:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = - \frac{\pi}{4} \jmath$[/tex],
se non ho sbagliato nessun conto.
L'altro integrale si fa allo stesso modo, ma prendendo i cerchi nel semipiano inferiore (così da poter mandare a zero il contributo all'integrale sul cerchio "grande"); ovviamente stavolta il secondo membro della (*) non sarà nullo, perchè il dominio [tex]$\Omega (r;R)$[/tex] conterrà il punto [tex]$-2\jmath$[/tex] che è una singolarità polare per l'integrando: in particolare al secondo memebro si troverà la quantità [tex]2\pi \jmath\ \text{Res} (\tfrac{e^{-\jmath z}}{z(z+2\jmath)^2} ;-2\jmath)[/tex].
Per calcolare quei due integrali si devono usare i lemmi di Jordan (tra l'altro sono due integrali a valore principale, con "problemi" in [tex]$0$[/tex]), quindi bisogna trovare dei semicerchi che servano allo scopo.
Il primo integrale lo si può scrivere come:
[tex]$\lim_{r\to 0^+, R\to +\infty} \int_{-R}^{-r} f(z)\ \text{d} z +\int_{r}^{R} f(z)\ \text{d} z$[/tex]
con [tex]$f(z):=\frac{e^z}{z(z+2\jmath)^2}$[/tex] e gli integrali estesi a due segmenti dell'asse reale che bisogna raccordare in qualche modo per ottenere un circuito chiuso al quale applicare il teorema dei residui; nel fare il raccordo, tuttavia, si deve tener presente che si vogliono applicare i lemmi di Jordan, quindi bisogna raccordare con archi di circonferenza in modo che, quando i raggi tendono a [tex]$0$[/tex] e [tex]$+\infty$[/tex], la funzione [tex]$zf(z)$[/tex] abbia limite finito ed uniforme rispetto all'argomento di [tex]$z$[/tex].
Nel caso in esame, il cerchio "grande" [tex]$\Gamma_R$[/tex] (quello di raggio [tex]$R$[/tex] che deve andare a [tex]$+\infty$[/tex]) va preso nel semipiano delle [tex]$\text{Im} z>0$[/tex], poichè facendo tale scelta si trova:
[tex]$0\leq \left| z\frac{e^{\jmath z}}{z(z+2\jmath)^2}\right| =\frac{e^{-\text{Im} z}}{|z+2\jmath|^2} \leq \frac{1}{||z|-2|^2}$[/tex]
e quindi [tex]$zf(z) \to 0$[/tex] per [tex]$z\to \infty$[/tex] uniformemente rispetto all'argomento; ovviamente, fatta tale scelta, il cerchio "piccolo" [tex]$\Gamma_r$[/tex] (quello di raggio [tex]$r$[/tex] che deve aggirare [tex]$0$[/tex]) va preso anche lui nel semipiano superiore e risulta:
[tex]$\lim_{z\to 0} zf(z)=\lim_{z\to 0} \frac{e^{\jmath z}}{(z+2\jmath)^2} =-\frac{1}{4}$[/tex]
anche lui uniformemente rispetto all'argomento, se non erro.
Quindi il circuito d'integrazione [tex]$\partial \Omega(r;R)$[/tex] è quello in figura:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; line([-3,0],[-0.5,0]);arc([0.5,0],[-0.5,0],0.5); line([0.5,0],[3,0]); arc([3,0],[-3,0],3);[/asvg]
e per [tex]$r$[/tex] piccolo ed [tex]$R$[/tex] grande il teorema dei residui implica:
[tex]$\int_{+\partial \Omega (r;R)} f(z)\text{d} z =0$[/tex]
sicché al limite:
(*) [tex]$\lim_{r\to 0^+, R\to +\infty} \int_{+\partial \Omega (r;R)} f(z)\text{d} z =0$[/tex];
ma per i lemmi di Jordan e la proprietà additiva dell'integrale è:
[tex]$\lim_{r\to 0^+, R\to +\infty} \int_{+\partial \Omega (r;R)} f(z)\text{d} z = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x -\lim_{r\to 0^+} \int_{\Gamma_r} f(z)\ \text{d} z +\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z)\ \text{d} z$[/tex]
[tex]$=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x -\pi \jmath\ \lim_{z\to 0} zf(z) +\pi \jmath\ \lim_{z\to \infty} zf(z)$[/tex]
[tex]$=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x +\pi \jmath \frac{1}{4}$[/tex],
sicché (*) implica:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = - \frac{\pi}{4} \jmath$[/tex],
se non ho sbagliato nessun conto.
L'altro integrale si fa allo stesso modo, ma prendendo i cerchi nel semipiano inferiore (così da poter mandare a zero il contributo all'integrale sul cerchio "grande"); ovviamente stavolta il secondo membro della (*) non sarà nullo, perchè il dominio [tex]$\Omega (r;R)$[/tex] conterrà il punto [tex]$-2\jmath$[/tex] che è una singolarità polare per l'integrando: in particolare al secondo memebro si troverà la quantità [tex]2\pi \jmath\ \text{Res} (\tfrac{e^{-\jmath z}}{z(z+2\jmath)^2} ;-2\jmath)[/tex].
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