Integrale con i residui

[adrenalinico]

Mi sono arenato su quest'integrale:

$int_(+deltaD)(z^2+piz)/((1-e^(2jz))sinz) dz$, dove $D=[z=x+jy inCC : -3/2pi <= x <= pi/2, |y|<=3]$

Fino al calcolo delle singolarità ci dovrei essere...nel calcolo dei residui mi blocco. Può essere utile nel calcolo dei limiti (mi vengono forme 0/0) portare in forma esponenziale sinz?

[pat871]

Le singolarità in $D$ sono 2: in $z=0$, e $z=-pi$.
Sappiamo che innanzitutto:
$lim_(z to 0) f(z)$ e $lim_(z to -pi) f(z)$
non esistono (sono solo calcoli).
Mentre:
-In $z=0$:
$lim_(z to 0) z f(z) = lim_(z to 0) (z +pi) (z)/(1 - e^(2i z)) (z)/(sin(z)) = pi* 1/(-2i) * 1 = i pi/2$
-In $z= -pi$:
$lim_(z to -pi) (z + pi) f(z) = lim_(w to 0) (w^2 (w - pi))/(-(1-e^(2i(w-pi)))sin(w)) = -lim_(w to 0) (w-pi) w/(sin(w)) w/(1-e^(2iw)) = -(-pi)* 1 * 1/(-2i) = i pi/2$
Questi sono anche i valori dei residui di f in $0$ e in $-pi$.

E quindi:
$oint f(z) dz = 2pi i (Res_(z= 0)f(z) + Res_(z=-pi) f(z)) = 2pi i (i pi) = -2pi^2$