Integrale con i residui
salve a tutti,
ho un problema su un integrale, da calcolare sfruttando il teorema dei residui, è un semplice integrale trigonometrico ma non mi torna il risultato che trovo sui libri di testo...
come si risolve?
int tra 0 e 2pi di (cos(k*theta)\(5 + 3cos(theta)) con k intero
il mio problema fondamentale è che, nel procedimento, trovo un polo di ordine k in 0 ma non riesco a calcolarne il residuo...help!!!
grazie
ho un problema su un integrale, da calcolare sfruttando il teorema dei residui, è un semplice integrale trigonometrico ma non mi torna il risultato che trovo sui libri di testo...
come si risolve?
int tra 0 e 2pi di (cos(k*theta)\(5 + 3cos(theta)) con k intero
il mio problema fondamentale è che, nel procedimento, trovo un polo di ordine k in 0 ma non riesco a calcolarne il residuo...help!!!
grazie
Risposte
Vogliamo calcolare
$int_0^(2pi) cos(ktheta)/(5+3cos(theta)) d theta$
Dalla formula di Eulero risulta
$cos(ktheta) = (e^(jktheta) + e^(-jktheta))/2$
$cos(theta) = (e^(jtheta) + e^(-jtheta))/2$
e ponendo $e^(jtheta) = z$ otteniamo
$cos(ktheta) = (z^k + z^(-k))/2$
$cos(theta) = (z + z^(-1))/2$
$d theta = (dz)/(jz)$
L'integrale di partenza si trasforma nel seguente
$1/j int_(|z|=1) (z^k + z^(-k))/((z + 3)(3z + 1)) dz = 1/j int_(|z|=1) (z^k)/((z + 3)(3z + 1)) dz + 1/j int_(|z|=1) 1/(z^k(z + 3)(3z + 1)) dz$
Per il primo integrale a secondo membro, credo non ci siano problemi.
Per il secondo, invece, occorre calcolare il residuo in $0$ che è un polo di ordine $k$. A tal proposito, è bene osservare che la funzione integranda $f(z) = 1/(z^k(z + 3)(3z + 1))$ è olomorfa intorno a $oo$ e inoltre $lim_(z to oo) zf(z) = 0$, sicché risulta $R[oo] = 0$ dove $R[oo]$ è il residuo all'infinito di $f$. Notiamo ora che $f$ ha $3$ poli: $z_1 = 0$, $z_2 = -3$, $z_3 = -1/3$. Valendo le ipotesi del secondo teorema dei residui, si ha che $R[0] + R[-3] + R[-1/3] + R[oo] = 0$ e dunque $R[0] = - R[-3] - R[-1/3]$. Sicuramente il calcolo di $R[-3]$ ed $R[-1/3]$ è più agevole, trattandosi dei residui in poli semplici.
Applicando il teorema di Cauchy e riassemblando quanto detto finora, il risultato finale dovrebbe essere
$int_0^(2pi) cos(ktheta)/(5+3cos(theta)) d theta = (-1/3)^k * pi/2$
$int_0^(2pi) cos(ktheta)/(5+3cos(theta)) d theta$
Dalla formula di Eulero risulta
$cos(ktheta) = (e^(jktheta) + e^(-jktheta))/2$
$cos(theta) = (e^(jtheta) + e^(-jtheta))/2$
e ponendo $e^(jtheta) = z$ otteniamo
$cos(ktheta) = (z^k + z^(-k))/2$
$cos(theta) = (z + z^(-1))/2$
$d theta = (dz)/(jz)$
L'integrale di partenza si trasforma nel seguente
$1/j int_(|z|=1) (z^k + z^(-k))/((z + 3)(3z + 1)) dz = 1/j int_(|z|=1) (z^k)/((z + 3)(3z + 1)) dz + 1/j int_(|z|=1) 1/(z^k(z + 3)(3z + 1)) dz$
Per il primo integrale a secondo membro, credo non ci siano problemi.
Per il secondo, invece, occorre calcolare il residuo in $0$ che è un polo di ordine $k$. A tal proposito, è bene osservare che la funzione integranda $f(z) = 1/(z^k(z + 3)(3z + 1))$ è olomorfa intorno a $oo$ e inoltre $lim_(z to oo) zf(z) = 0$, sicché risulta $R[oo] = 0$ dove $R[oo]$ è il residuo all'infinito di $f$. Notiamo ora che $f$ ha $3$ poli: $z_1 = 0$, $z_2 = -3$, $z_3 = -1/3$. Valendo le ipotesi del secondo teorema dei residui, si ha che $R[0] + R[-3] + R[-1/3] + R[oo] = 0$ e dunque $R[0] = - R[-3] - R[-1/3]$. Sicuramente il calcolo di $R[-3]$ ed $R[-1/3]$ è più agevole, trattandosi dei residui in poli semplici.
Applicando il teorema di Cauchy e riassemblando quanto detto finora, il risultato finale dovrebbe essere
$int_0^(2pi) cos(ktheta)/(5+3cos(theta)) d theta = (-1/3)^k * pi/2$
ti ringrazione per la risposta veramente esauriente...l'unica cosa che non mi torna tanto (devi scusarmi perchè ho iniziato ad affrontare questi argomenti da poco...), è perchè puoi dire che il residuo all'infinito fa 0, in particolare non è è tanto chiaro il fatto che te dici che il residuo all'infinito fa zero poichè lim z->oo di zf(z) = 0...grazie ancora
Per il calcolo del residuo di una funzione nel punto all'infinito, può tornare utile il seguente lemma:
Sia $f$ olomorfa intorno a $oo$, se $zf(z)$ converge per $z to oo$, l'opposto del limite è il residuo all'infinito, ovvero $R[oo] = - lim_(z to oo) zf(z)$
Sia $f$ olomorfa intorno a $oo$, se $zf(z)$ converge per $z to oo$, l'opposto del limite è il residuo all'infinito, ovvero $R[oo] = - lim_(z to oo) zf(z)$
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