Integrale con i residui

[Sk_Anonymous]

$int_(pi)^inftycosx/[(x-pi)^2+3]^2dx

A me risulta:$-pi/36e^-sqrt3(sqrt3+1)$;siete d'accordo?

[Kroldar]

A me viene $-pi/36e^(-sqrt(3))(sqrt(3)+3)$

[Sk_Anonymous]

Riporto il calcolo del residuo nel polo doppio avente parte immaginaria positiva (ho posto $x-pi=t$):

$R[f(t),isqrt3]=d/dte^(it)/(t+isqrt3)^2|_(t=isqrt3)=(ie^(it)(t+isqrt3)^2-2e^(it)(t+isqrt3))/(t+isqrt3)^4|_(t=isqrt3)=(e^(it)(it-sqrt3-2))/(t+isqrt3)^3|_(t=isqrt3)=(e^-sqrt3(-sqrt3-sqrt3-2))/(-72i)=(e^-sqrt3(sqrt3+1))/(36i)=-i/36e^-sqrt3(sqrt3+1)$.

dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

$(t+jsqrt3)_(t=jsqrt3)^3->(jsqrt3+jsqrt3)^3=(2jsqrt3)^3=8j^3sqrt(3^3)=-8j*3sqrt3=-24jsqrt3$
karl

[Sk_Anonymous]

"karl":$(t+jsqrt3)_(t=jsqrt3)^3->(jsqrt3+jsqrt3)^3=(2jsqrt3)^3=8j^3sqrt(3^3)=-8j*3sqrt3=-24jsqrt3$
karl

E al numeratore?

[MaMo2]

Il numeratore è OK.

[Sk_Anonymous]

Come dice Mamo,il numeratore va bene.Ci deve essere qualche altro inghippo nel tuo calcolo in quanto il valore di Kroldar e' esatto.
Basta partire dal noto risultato:
$int_0^(oo)(cos(m xi))/(1+xi^2)^2d xi=(pi(1+m))/(4e^m)$
karl

[Sk_Anonymous]

"karl":Come dice Mamo,il numeratore va bene.Ci deve essere qualche altro inghippo nel tuo calcolo in quanto il valore di Kroldar e' esatto.
Basta partire dal noto risultato:
$int_0^(oo)(cos(m xi))/(1+xi^2)^2d xi=(pi(1+m))/(4e^m)$
karl

Ecco come ho fatto:
$t=x-pi$

=> $int_0^(+infty)cos(pi+t)/(t^2+3)^2dt=-int_0^(+infty)cost/(t^2+3)^2dt=-1/2int_(-infty)^(+infty)cost/(t^2+3)^2dt$

$t^2+3=0 <=> t=+-isqrt3$ (poli doppi);l'unico polo $in Im(t)>0$ è $t=isqrt3$

Quindi:

$int_(-infty)^(+infty)e^(it)/(t^2+3)^2dt=Re[2piiR[f,isqrt3)]$ (ovvero dobbiamo prendere la parte reale)

$R[f,isqrt3]=d/dte^(it)/(t+isqrt3)^2|_(t=isqrt3)=(ie^(it)(t+isqrt3)^2-2e^(it)(t+isqrt3))/(t+isqrt3)^4|_(t=isqrt3)=(e^(it)(it-sqrt3-2))/(t+isqrt3)^3|_(t=isqrt3)=(e^-sqrt3(-sqrt3-sqrt3-2))/(-24isqrt3)=(e^-sqrt3(sqrt3+1))/(12isqrt3)$.

Come posso ricondurmi al risultato di MaMo?devo razionalizzare?

[Sk_Anonymous]

"karl":Come dice Mamo,il numeratore va bene.Ci deve essere qualche altro inghippo nel tuo calcolo in quanto il valore di Kroldar e' esatto.
Basta partire dal noto risultato:
$int_0^(oo)(cos(m xi))/(1+xi^2)^2d xi=(pi(1+m))/(4e^m)$
karl

Da dove hai preso questo risultato noto?esiste una tabella per caso?

[Sk_Anonymous]

Ho ricontrollato i calcoli e mi sembra che te abbia dimenticato il $2pij$.
Indicando con L l'integrale richiesto,risulta:
$L=-1/2*2pij*(e^-sqrt3(sqrt3+1))/(12jsqrt3)=-(pie^(-sqrt3)(sqrt3+1))/(12sqrt3)$
Razionalizzando:
$L=-(pie^(-sqrt3)(3+sqrt3))/(36)$
karl
P.S.
Quell'integrale "noto" lo si calcola come hai fatto tu.
Niente d'interessante:l'ho citato solo per una verifica .