Integrale con i residui
Buongiorno ragazzi,
ho un problema con il seguente integrale:
$ int_(R) cos(alpha x)/(x^4+1)dx $ con $ alpha $ >0
Non mi trovo con il risultato previsto che è
$ I=pi /sqrt(2)e^((-alpha sqrt(2))/2) $
Vi dico come l'ho risolto:
ho esteso la funzione integranda al piano complesso considerando la funzione
$ f(z)=e^(ialphaz)/(z^4+1) $
Ho chiuso il cammino d'integrazione nel semipiano superiore (Imz>0) e ho considerato come cammino d'integrazione la semicirconferenza di centro l'origine e di raggio R e il tratto orizzontale sull'asse reale (tra -R e R).
Adesso so che l'integrale sulla semicirconferenza di raggio R è nullo per il lemma di Jordan per cui basta porre l'integrale complessivo lungo tutta la curva pari a $ 2piiRes(f(zj)) $ e poi considerare la parte reale di entrambi i membri dell'equazione.
I due soli poli semplici interni alla curva sono:
z= $ sqrt(2)/2(1+i) $ e z= $ sqrt(2)/2(i-1) $.
Quindi nel conto con i residui devo sommare i contributi di entrambi. La mia difficoltà sta nel conto finale della parte reale dei residui a meno del fattore $ 2pi i $ perchè penso di non maneggiare bene gli esponenzial.
Vorrei capire dove sbaglio,grazie a tutti per l'aiuto in anticipo.
ho un problema con il seguente integrale:
$ int_(R) cos(alpha x)/(x^4+1)dx $ con $ alpha $ >0
Non mi trovo con il risultato previsto che è
$ I=pi /sqrt(2)e^((-alpha sqrt(2))/2) $
Vi dico come l'ho risolto:
ho esteso la funzione integranda al piano complesso considerando la funzione
$ f(z)=e^(ialphaz)/(z^4+1) $
Ho chiuso il cammino d'integrazione nel semipiano superiore (Imz>0) e ho considerato come cammino d'integrazione la semicirconferenza di centro l'origine e di raggio R e il tratto orizzontale sull'asse reale (tra -R e R).
Adesso so che l'integrale sulla semicirconferenza di raggio R è nullo per il lemma di Jordan per cui basta porre l'integrale complessivo lungo tutta la curva pari a $ 2piiRes(f(zj)) $ e poi considerare la parte reale di entrambi i membri dell'equazione.
I due soli poli semplici interni alla curva sono:
z= $ sqrt(2)/2(1+i) $ e z= $ sqrt(2)/2(i-1) $.
Quindi nel conto con i residui devo sommare i contributi di entrambi. La mia difficoltà sta nel conto finale della parte reale dei residui a meno del fattore $ 2pi i $ perchè penso di non maneggiare bene gli esponenzial.
Vorrei capire dove sbaglio,grazie a tutti per l'aiuto in anticipo.
Risposte
Ehi allora? Nessuno può aiutarmi?
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