Integrale con funzioni goniometriche

[Wintel]

Buongiorno. Non riesco a risolvere questo integrale:
$\int (sin^4x+cos^4x) dx$
Ora io ho proceduto in quest modo: sapendo che $ sin^2x+cos^2x=1$ ottengo $ sin^4x=(1-cos^2x)^2=1-2cos^2x+cos^4x$
Quindi ottengo l'integrale:
$\int (sin^4x+cos^4x) dx$$=$$\int (2cos^4x-2cos^2x+1) dx$
Ponendo $cos^2x=t$ non riesco a ricavare $dx$
Come posso procedere?
Grazie in anticipo.

[Brancaleone1]

Si potrebbe impostare così:

$\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2=(1/2(1-\cos(2x)))^2+(1/2(1+\cos(2x)))^2=$

$=1/4+1/4 \cos^2(2x)-\cos(2x)+1/4+1/4 \cos^2(2x)+\cos(2x)=1/2+1/2\cos^2(2x)=1/2(1+\cos^2(2x))$

e quindi

$\int(\sin^4x+\cos^4x)dx=1/2 \int(1+\cos^2(2x))dx$...

[Demostene92]

"Wintel":
Ponendo $cos^2x=t$ non riesco a ricavare $dx$
Come posso procedere?

$x=(arccost)^2$, $dx=-2arccos(t)/sqrt(1-t^2)dt$

In ogni caso, così facendo, ti complichi la vita.
Ti conviene partire da dove eri arrivato tu:

$\int(1-2cos^2x+cos^4x)dx$, spezzando l'integrale in tre parti: $\intdx-2\intcos^2xdx+\intcos^4xdx$.

Il primo è chiaramente risolvibile, il secondo ci arrivi per parti senza problemi, mentre per il terzo puoi integrare per parti e vedrai che dopo alcuni passaggi ti salterà fuori un termine con $sin^4x$ che potrai portare a primo membro.

[Wintel]

Innanzitutto grazie per le risposte. Allora il terzo integrale:
$\int cos^4x dx$$=$$\int 1*cos^4x dx$$=$$x*cos^4x - $$4$$\int x*cos^3x*sinx dx$
L'ultimo integrale mi pare un pò ostico...come fare?

In generale ho notato che ho difficoltà a risolvere integrali contenenti funzioni goniometriche. C'è, per caso, un modo particolare di procedere?

[totissimus]

\( \displaystyle sin^{4}(x)+cos^{4}(x)=\left(sin^{2}(x)+cos^{2}(x)\right)^{2}-2sin^{2}(x)cos^{2}(x)=1-\frac{1}{2}sin^{2}(2x)=\)

\( \displaystyle =1-\frac{1-cos(4x)}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos(4x)\)

\( \displaystyle \int (sin^4(x)+cos^4(x))dx=\int \left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos(4x)\right)dx=\frac{3}{4}x+\frac{sin(4x)}{16}+c\)