Integrale con funzione trigonometrica

[tin01]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere il seguente integrale ma, confrontando il risultato con un calcolatore online mi accorgo che è presente qualche differenza nel risultato
il testo è il seguente:

$ intx*arcsen(1-x^2) dx $

procedo per sostituzione effettuando le seguenti sostituizioni:
(1) $ t=1-x^2 $
$ x= root(2)(1-t $
$ dx=- (dt)/(2*root(2)(1-t)) $

ottengo il seguente integrale:

$ -1/2intarcsen(t)dt $




a questo punto procedo per parti scegliendo 1 come fattore differenziale e arcosen(t) come fattore finito:
$ f(t)=arcsen(t) $
$ f'(t)=1/ (root(2)(1-t^2)) $
$ g'(t)=1 $
$ g'(t)=t $

ottenendo quindi
$ t*arcsen(t)-intt/(root(2)(1-t^2))dt $

calcolo infine
$ int t/(root(2)(1-t^2))dt $

che risulta
$ -root(2)(1-x^2)+c $

infine, ottengo il seguente risultato nella variabile t
$ -1/2[t*arcsen(t)+root(2)(1-t^2)]+c $

ricordando la (1)
$ -1/2[(1-x^2)*arcsen(1-x^2)+root(2)(1-(1-x^2)^2)]+c $

gentilemente, qualcuno potrebbe dirmi se ho fatto tutto correttamente? grazie in anticipo

[kobeilprofeta]

Non sono convinto di quando calcoli $\int frac{t}{sqrt(1-t^2)}dt$.

[Acutangolo1]

manca un 2 all'esponente della tonda dentro l'ultima radice.
le differenze potrebbero essere dovute ad una costante.
se inserisci la tua soluzione e la derivi ottieni la funzione integrando di partenza

[tin01]

$ int t/root(2)(1-t^2)dt = intt/(1-t^2)^(1/2)dt= int t*(1-t^2)^(-1/2)dt $

ricordando che $ int [f(x)]^a*f'(x)dx= f(x)^(a+1)/(a+1)+c $ con $ ain R $

$ int t*(1-t^2)^(-1/2)dt=-1/2int-2t*(1-t^2)dt=-1/2(1-t^2)^(-1/2+1)/(-1/2+1)+c $ $ =-1/2*(1-t^2)^(1/2)/(1/2)+c = -1/2*root(2)(1-t^2)/(1/2)= -1/2*root(2)(1-t^2)*2= -root(2)(1-t^2)+c $

manca un 2 all'esponente della tonda dentro l'ultima radice.

"piccolo" errore di battitura corretto

[ciampax]

Mi sembra tutto corretto.

[kobeilprofeta]

Ok... $-sqrt(1-t^2)$ non è $-sqrt(1-x^2)$...