Integrale con formula di sostituzione ....

[luigi_maddaluno]

$ int x^3/(sqrt(1-x^2) )$ , ho provato con l'integrale per parti ma non va ...ho provato con la sostituzione $ t=sqrt(1-x^2) $ ma mi viene qualcosa come sto mostro .... ho sbagliato mi sa ... $ int (1-t^2)/ [(1+t)^(2)* (1-t^(2))+(1+t)^3 ] dt $

[Demostene92]

Io proverei con $x=sin\theta$

[gugo82]

Integrando per parti e tenendo poi presente gli integrali "della tabella", hai:
\[
\begin{split}
\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x &= \int \underbrace{x^2}_{=f(x)}\ \underbrace{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}_{=g^\prime (x)}\ \text{d} x \\
&= - x^2\ \sqrt{1-x^2} - \int \underbrace{(-2x)}_{=h^\prime(x)}\ \underbrace{\sqrt{1-x^2}}_{=h^{\frac{1}{2}}(x)}\ \text{d} x \\
&= -x^2\ \sqrt{1-x^2} - \frac{2}{3}\ \sqrt{(1-x^2)^3} + C \\
&= -\frac{1}{3}\ \sqrt{1-x^2}\ (x^2+2)+ C\; .
\end{split}
\]

[luigi_maddaluno]

"Demostene92":Io proverei con $x=sin\theta$

scusa e il seno dov'è? intendi l'arcsin ?

[luigi_maddaluno]

"gugo82":Integrando per parti e tenendo poi presente gli integrali "della tabella", hai:
\[
\begin{split}
\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x &= \int \underbrace{x^2}_{=f(x)}\ \underbrace{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}_{=g^\prime (x)}\ \text{d} x \\
&= - x^2\ \sqrt{1-x^2} - \int \underbrace{(-2x)}_{=h^\prime(x)}\ \underbrace{\sqrt{1-x^2}}_{=h^{\frac{1}{2}}(x)}\ \text{d} x \\
&= -x^2\ \sqrt{1-x^2} - \frac{2}{3}\ \sqrt{(1-x^2)^3} + C \\
&= -\frac{1}{3}\ \sqrt{1-x^2}\ (x^2+2)+ C\; .
\end{split}
\]

$ h^(1/2) $ cos'è? e come fai a fare l'integrale di $ x/ sqrt(1-x^2) $