Integrale con formula dei residui
Salve ho un problema con un'integrale il cui valore deve essere calcolato con la formula dei residui...
l'integrale è il seguente
$\int_-\infty^\infty1/((e^x)(e^(2x)+e^(-2x))/2)dx$
potreste gentilmente darmi il risultato... non ho bisogno del procedimento...
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione...
l'integrale è il seguente
$\int_-\infty^\infty1/((e^x)(e^(2x)+e^(-2x))/2)dx$
potreste gentilmente darmi il risultato... non ho bisogno del procedimento...
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione...
Risposte
ho provato con mathematica e mi da come risultato $\pi/sqrt{2}$ adesso faccio il conto e ti so dire......anche se sono un po' perplesso siccome la tua funzione non ha poli, non è che magari a denominatore c'è la differenza degli esponenziali? sarebbe poi un seno iperbolico...
no al denominatore c'è il coseno iperbolico di 2x... io ho cercato la soluzione con il derive 6 e mi da la stessa cosa... il problema è che risolvendo manualmente mi viene fuori $-\pi$ per risolvere l'integrale e farti venir fuori i poli devi porre $e^x=z$ dovrebbe uscirti alla fine $z^4-1$ al denominatore e 2 al numeratore...
ti ringrazio per l'attenzione e speriamo di risolvere il mistero!!
alla fine con il cambio di variabili a me viene $\int_-\infty^\infty2/(z^4-1)dz$
ti ringrazio per l'attenzione e speriamo di risolvere il mistero!!
alla fine con il cambio di variabili a me viene $\int_-\infty^\infty2/(z^4-1)dz$
Scusa romsa, ma la sostituzione $u=e^x$ (rimanendo ancora nei reali) ti riduce l'integrale a:
$\int_0^(+oo) 2/(u^4+1)" d"u$ (c'è il $+$ non il $-$);
da qui ti porti nei complessi e noti che i poli della funzione $f(z)=1/(z^4+1)$, tutti del prim'ordine, sono le radici quarte di $-1$, ossia i numeri di modulo $1$ ed argomenti $pm pi/4, pm 3/4pi$.
A questo punto applichi il lemma di Jordan ed il teorema dei residui per calcolare l'integrale.
$\int_0^(+oo) 2/(u^4+1)" d"u$ (c'è il $+$ non il $-$);
da qui ti porti nei complessi e noti che i poli della funzione $f(z)=1/(z^4+1)$, tutti del prim'ordine, sono le radici quarte di $-1$, ossia i numeri di modulo $1$ ed argomenti $pm pi/4, pm 3/4pi$.
A questo punto applichi il lemma di Jordan ed il teorema dei residui per calcolare l'integrale.
grazie mille Gugo... mi sono reso conto dell'errore... è stata una distrazione...
ho riscontrato lo stesso esercizio sul mio libro, ma non mi è chiaro un passaggio... com già detto il polinomio a denominatore ammette quattro zeri semplici, cioè le quattro radici complesse di -1. Calcola i residui con la seguente formula:
$res(f,z_0)=\frac(f_1(z_0))(f'_2(z_0))$
trovando così:
$res(f,z_k)=\frac(1)(4z^3_k)$
e fin qui ci sono arrivato anch'io..... poi non capisco cosa fa...scrive:
$res(f,z_k)=\frac(1)(4z^3_k)=\frac(z_k)(4z^4_k)=-\frac(1)(4) z_k$
con $k=0,1$ non capisco come ha fatto ad ottenere: $-\frac(1)(4) z_k$???
$res(f,z_0)=\frac(f_1(z_0))(f'_2(z_0))$
trovando così:
$res(f,z_k)=\frac(1)(4z^3_k)$
e fin qui ci sono arrivato anch'io..... poi non capisco cosa fa...scrive:
$res(f,z_k)=\frac(1)(4z^3_k)=\frac(z_k)(4z^4_k)=-\frac(1)(4) z_k$
con $k=0,1$ non capisco come ha fatto ad ottenere: $-\frac(1)(4) z_k$???
"Carlus":
..... poi non capisco cosa fa...scrive:
$res(f,z_k)=\frac(1)(4z^3_k)=\frac(z_k)(4z^4_k)=-\frac(1)(4) z_k$
con $k=0,1$ non capisco come ha fatto ad ottenere: $-\frac(1)(4) z_k$???
Basta osservare che se gli $z_k$ sono i valori che annullano il denominatore (che è $z^4 +1$) questo significa che $z_k^4 = -1$.
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