Integrale con e^x

[FedeAle1525]

Mi sono imbattuta in questo esercizio

$\int (x+2)/e^x dx$

Io ho proceduto in questo modo

$\int x/e^x + 2/e^x dx$ = $int x/e^x dx + 2\int 1/e^x dx$ = $int x/e^x dx + 2ln|e^x| + c$ = $int x/e^x dx + 2xln|e| + c$

= $int x/e^x dx + 2x + c$

Il mio problema è come risolvere il primo integrale, perchè provando con la risoluzione Per Parti ottengo un risultato diverso da quello corretto che è $-(x-3)/e^x + c$

Sento che mi sfugge qualcosa, ma non capisco cosa ^^'

Grazie ^^

[anto_zoolander]

Poni $x=log(u),dx=1/u$

Nota che ti basta prendere $u in(0,+infty)$
Poiché $g:RR^> -> RR$ ti basta e avanza per poter invertire $g$ e ottenere di nuovo $x$ su tutto il suo intervallo iniziale.

$int(x+2)/e^xdx=int(log(u)+2)/u^2du$

Integro per parti integrando $1/u^2$

Ottengo $-(log(u)+2)/u+int1/u^2du=-(log(u)+2)/u-1/u+c$

Ovvero $-(log(u)+3)/u+c$ e ponendo $u=e^x$ troviamo

$int(x+2)/e^xdx=-(x+3)/e^x+c$

[pilloeffe]

Ciao FedeAle1525,

anto_zoolander ti ha già risposto correttamente, ma volevo suggerirti un metodo alternativo per l'integrale indefinito che hai proposto. Scrivi

$\int frac{x + 2}{e^x} dx = \int (xe^{-x} + 2e^{-x}) dx = \int xe^{-x} dx + 2\int e^{-x} dx$

Il secondo integrale è immediato e vale $-2e^{-x}$ (occhio che c'è un errore nella tua soluzione di tale integrale). Il primo lo puoi risolvere facilmente per parti considerando come fattore finito $f = x$: si trova $- e^{-x}(x + 1)$. Dopo qualche semplice passaggio trovi il risultato corretto (quello di anto_zoolander, che è diverso dal tuo... ).