Integrale con $e^x$

[alfiere15]

Buona sera. Vorrei sapere se ci sia una funzione (diversa da $e^x$) nel cui integrale indefinito compaia $e$.
Mi spiego meglio: a me servirebbe una funzione (diversa da $e$) che sottenda, in un opportuno intervallo, un'area multiplo di $e$...

[Raptorista1]

\[
\int e \ dx
\]

Ho il vago dubbio di non aver capito la domanda.

[alfiere15]

Devo approssimare $e$

[Raptorista1]

Ok, adesso questa domanda ha anche un senso
\(\pi\) si può fare come rapporto di aree perché \(\pi\) compare naturalmente nella definizione di un'area.
Puoi inventare un trucco simile e calcolare
\[
e = \int_0^\infty \left(1 + \frac 1 {\textrm{ceil}(x)}\right)^{\textrm{ceil}(x)} \ dx
\]
dove \(\textrm{ceil}(x)\) è il più piccolo intero maggiore o uguale a \(x\).
Questo è esatto, ma per ovvi motivi non è di particolare utilità!

[Berationalgetreal]

"alfiere15":In pratica, devo approssimare il numero di Nepero $e$ per confronto di aree, e mi serve un'area la cui misura sia proprio $e$ o un suo multiplo.
Vi faccio un esempio con $pi$: considero un quadrato di lato $l=2$ e un cerchio inscritto.
Allora, la probabilità che un punto cada nel cerchio è il rapporto tra le aree: $pi/4$. Se conduco un esperimento $n$ volte (d esempio, con Matlab) con la scelta di un punto random, basta calcolare il rapporto il rapporto (casi punto nel cerchio)/n e moltiplicare per 4 per ottenere un'approssimazione di $pi$.
Ora devo fare la stessa cosa (o simile) con $e$...

Mi sono chiesto la stessa identica cosa qualche tempo fa. Con il metodo Montecarlo, è facile stimare $\pi$; non è efficientissimo, ma è abbastanza divertente. Il problema è che con $e$ non si può fare la stessa cosa. Con la serie del fattoriale però si approssima abbastanza velocemente.