Integrale con e !

[LucaC1]

$int (\e\^x-1)/(\e\^x+1) dx$

ho provato in 2 modi :


$int (\e\^x-1+1-1)/(\e\^x+1) dx$

$int ((\e\^x+1)/(\e\^x+1))+(-2/(\e\^x+1))dx$

$int (1)dx + int(-2/(\e\^x+1))dx$

$-2 int(1/(\e\^x+1))dx$

$int (\e\^x-1)/(\e\^x+1) dx=int (1)-2 int(1/(\e\^x+1))dx=x-2log(\e\^x+1)+c$

ottengo un risultato simile a quelli proprosti ( dico simile perchè quello proposto è $2log(\e\^x+1)-x+c$
ps: perchè gli viene -x??

ho provato anche con la sostituzione $\e\^x=t,x=logt, dx=(1/t)dt$
ma non riesco a risolvero .
potreste , gentilmente , spiegarmi perchè vi viene differente e , se si svolge così o devo fare una sostituzione ?
Grazie in anticipo a tutti .

[vittorino70]

C'è un errore nel tuo ultimo passaggio.
\(\displaystyle 2\int\frac{1}{e^x+1}dx \) non è per niente uguale a \(\displaystyle 2log(e^x+1) \). Prova a dividere numeratore e denominatore per \(\displaystyle e^x \)

[LucaC1]

dici così ??
$int(1/\e\^x)+1$

[vittorino70]

\(\displaystyle \int\frac{1}{e^x+1} dx=\int\frac{1/e^x}{1/e^x+e^x/e^x} dx=\)
\(\displaystyle =\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}dx=-log(e^{-x}+1)+C= \)
\(\displaystyle =-log(\frac{1}{e^x}+1)+C=-log(\frac{1+e^x}{e^x})+C=-log(1+e^x)+x+C\)
Pertanto il tuo integrale originario diventa :
\(\displaystyle \int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx=x-2[-log(1+e^x)+x] +C=2log(1+e^x)-x+C \)
C.V.D.

[anonymous_c5d2a1]

$int(e^x-1)/(e^x+1)dx$
Sostituzione $e^x=t$ quindi $dx=dt/t$
$int(t-1)/(t(t+1))dt$

$int(t-1-t+t)/(t(t+1))dt$

$int-(1+t)/(t(t+1))dt+int(2t)/(t(t+1))dt$

Più facile? Continua tu.