Integrale con doppio logaritmo

[r4ph43l]

Buongiorno, a giugno avevo provato a dare l'esame di analisi I e mi era uscito un esercizio sull'integrale definito con 2 logaritmi "annidati".
Il testo era:

$ int_(2)^(4) log(log(x^2))/x dx $

Di primo acchito la mia idea sarebbe stata quella di sostituire log(x^2) con t in modo tale da avere:

$ int_(2)^(4) (log(t)/e^t)1/t dt $

Il problema e' che il logaritmo che ho a numeratore non riesco a togliermelo e quindi non riesco ad andare avanti.
Qualcuno ha qualche idea su come si potrebbe procedere? E se la mia idea iniziale era corretta o dovrei cercare di guardare l'esercizio in ottica differente??

Grazie!

[walter891]

scrivi il logartitmo interno in questo modo: $log(x^2)=2log(x)$ e ora fai la sotituzione $log(x)=t$

PS: Quando sostituisci ricordati di modificare anche gli estremi di integrazione

[r4ph43l]

Ahhh ho capito come fare !

$ log(x^2) = u $

$ 2/x = du $

$ 1/2int_(2)^(4) log(u) du $

Poi uso la formula di integrazione per parti e ottengo:

$ 1/2u log(u) - u/2 + c $

Ritorno alla mia sostituzione ed effettuo i calcoli e voila'!

Grazie per la risposta! Ho sempre qualche dubbio sugli estremi di integrazione

[ciampax]

Se effettui la sostituzione $\log(x^2)=u$ allora vanno sostituiti anche gli estremi:

$x=2\ \to\ u=\log 4=2\log 2$
$x=4\ \to\ u=\log 16=4\log 2$