Integrale con differenziale in modulo

[Flaviuz1]

ciao a tutti.
scrivo per eliminare un dubbio che mi è necessario chiarire: il calcolo di un integrale definito di una funzione di una variabile con il differenziale in modulo. mi spiego meglio:
$int_{A}^{B} |dx|=I$
è il "calcolo" ( ) che devo fare.

poichè $int_{A}^{B} dx=x(B)-x(A)$ mi verrebbe da dire che $I=|x(A)-x(B)|$ o qualcosa di simile, ma a "occhio" non mi sembra corretto, e comunque è basato su una somiglianza e non sull'aver capito il motivo di tale risultato.

quindi come si calcola tale integrale?

grazie in anticipo

[Flaviuz1]

vi spiego anche per cosa mi serve questo integrale, dato che può esservi utile.

in laboratorio di fisica (studio fisica), ci serve calcolare l'energia potenziale di un corpo relativa ad una forza nota (misurata sperimentalmente e conservativa) attraverso la potenza sviluppata da tale forza. dette $U$ l'energia potenziale, $P$ la potenza e $W$ il lavoro, dato che $dW=-dU$ e che $P= {dW} /dt$, si ha $W=int_{A}^{B} P(t) dt=U(A)-U(B)$. per questioni pratiche (legate agli strumenti di misura), sono costretto a dover calcolare la potenza in modulo (dato che $P=F*v$ e la forza registrata è a tratti negativa e a tratti positiva), quindi mi verrebbe da dire che $U(A)-U(B)=int_{A}^{B} |P(t)|dt=int_{A}^{B}|dW|$, mentre la prof. ci ha detto di calcolare la differenza di energia come: $U(A)-U(B)=|int_{A}^{B} P(t)dt| =|int_{A}^{B} dW|$....

il punto è: il risultato è uguale oppure no? e comunque, se fosse diverso, come si calcolerebbe l'integrale con il differenziale in modulo?

[Obidream]

Diciamo che se $|f|$ è integrabile su $[a,b)$, allora anche $f$ è integrabile e si dice funzione assolutamente integrabile. In particolare si ha che:

$|\int_(a)^(b) f(x)dx|<=\int_(a)^(b) |f(x)|dx$

Quindi mi verrebbe da dire che le 2 scritture non sono generalmente equivalenti

Per integrare ad esempio:

$\int_(0)^2 |x-1|dx$

Sappiamo dalla definizione di valore assoluto che:

$f(x)=|x-1|$ può essere riscritta come:

$f(x)={(x-1,if x>=1), (-x+1,if x<1):}$

( In particolare è abbastanza facile verificare che in $x=1$ vi è un punto di non derivabilità, ma la funzione è continua)

Quindi possiamo riscrivere, sfruttando le proprietà dell'integrale definito, $\int_(0)^2 |x-1|dx$ come:

$-\int_(0)^1 (x-1)dx+\int_(0)^2 (x-1)dx$

[Sk_Anonymous]

Al di là dell'aspetto matematico, $[W=int_{A}^{B}P(t)dt=U(A)-U(B)]$ è evidentemente corretta, $[U(A)-U(B)=int_{A}^{B}|P(t)|dt=int_{A}^{B}|dW|]$ è evidentemente sbagliata. In ogni modo, se veramente disponi solo della funzione $|P(t)|$, non potrai mai calcolare $[U(A)-U(B)]$.