Integrale con denominatore avente radici reali e complesse
Ciao a tutti, non riesco a capire la spiegazione di questo integrale.
$Int x/(x^3-x^2+x-1)$ .
Il professore negli appunti lo risolve così:
"Il numero 1 è radice del polinomio $g(x)= x^3-x^2+x-1 $ e quindi g(x) è divisibile per il polinomio $x-1$. Se facciamo la divisione tra g(x) e (x-1) si vede che si ottiene, come quoziente, il polinomio $(x^2+1)$.Tale polinomio è irriducibile sui reali, vendo radici complesse e si ha la decomposizione: $x^3-x^2+x-1=(x^2+1)(x-1)$.
Pertanto: $x/(x^3-x^2+x-1) = (Ax + B) / (x^2 +1) + C / (x-1)$
Il procedimento della scomposizione è semplice e l'ho capito senza problemi. Ciò che non capisco è come mai compare $Ax+B$.
Grazie
$Int x/(x^3-x^2+x-1)$ .
Il professore negli appunti lo risolve così:
"Il numero 1 è radice del polinomio $g(x)= x^3-x^2+x-1 $ e quindi g(x) è divisibile per il polinomio $x-1$. Se facciamo la divisione tra g(x) e (x-1) si vede che si ottiene, come quoziente, il polinomio $(x^2+1)$.Tale polinomio è irriducibile sui reali, vendo radici complesse e si ha la decomposizione: $x^3-x^2+x-1=(x^2+1)(x-1)$.
Pertanto: $x/(x^3-x^2+x-1) = (Ax + B) / (x^2 +1) + C / (x-1)$
Il procedimento della scomposizione è semplice e l'ho capito senza problemi. Ciò che non capisco è come mai compare $Ax+B$.
Grazie
Risposte
"Gost91":
Prova a dare un'occhiata qui:
post539069.html#p539069
Potrebbe tornarti utile...
Ho letto il post, anche quella guida molto lunga ma ben fatta.
Però il mio caso è trattato in 2 righe e non ho capito bene. Il fatto che si trovino, con la scomposizione e/o divisione due polinomi al denominatore mi torna, ma non capisco proprio come mai ad A sia associata la x.
Tra l'altro dopo questo mio esercizio ce n'è un altro, dove $int x/(x^3-1) dx $ viene scomposto in $(x-1)(x^2+x+1)$ e poi viene uguagliato così: $x/(X^3-1) = A/(x-1) + (Bx + C)/(x^2 + x + 1)$ . In questo caso la x viene associata alla lettera B ed al secondo membro della scomposizione.
Perchè?
Sostanzialmente quando usi la tecnica di scomposizione di Hermite per scomporre un integrale di una funzione razionale nella somma di tanti integrali più semplici, devi tener presente che se al denominatore hai un polinomio irriducibile di grado n al numeratore va messo un generico polinomio di grado $n-1$. Per questo quando hai $x-1$ al denominatore al numeratore metti $A$ (perchè $A$ è il generico polinomio di grado 0, in quanto al denominatore hai grado 1)
ok, e perché nel primo esempio è stato messo sotto al numeratore $C$ ?
non la vedo O.o
Primo esempio:
Secondo esempio
"l0r3nzo":
Ciao a tutti, non riesco a capire la spiegazione di questo integrale.
Pertanto: $x/(x^3-x^2+x-1) = (Ax + B) / (x^2 +1) + C / (x-1)$
Secondo esempio
"l0r3nzo":
$x/(X^3-1) = A/(x-1) + (Bx + C)/(x^2 + x + 1)$
"l0r3nzo":
ok, e perché nel primo esempio è stato messo sotto al numeratore $C$ ?
Se rileggi ciò che hai scritto la C dovrebbe stare "sotto al numeratore" (= al denominatore); per questo ho detto non la vedo.
Comunque se rileggi bene la mia spiegazione, capisci che quella C è messa per creare il generico polinomio di grado $n-1$, sarebbe il termine noto.
Scusa dell'errore! inizio ad esser un po' fuso...
Ho trovato anche questa pagina (non sapevo di usare il teorema della decomposizione di Hermite, non era stato chiamato così negli appunti):
http://www.batmath.it/matematica/a_prim ... mposizione
Tra la tua spiegazione e la loro ho capito la disposizione.
Visto che sei online e rispondi velocemente ti chiedo 1 altra cosa:
Ho questo esercizio (i numeri sembrano brutti, ma sono corretti).
$ (79x^2 -240x + 194) / (x^3-6x+12x-8) $.
il Denominatore è $ (x-2)^3 $ giusto? In questo caso devo procedere così? :
$ (79x^2 -240x + 194) / (x^3-6x+12x-8) = A/(x-2) + B/(x-2)^2 + C/(x-2)^3 $ ??
perchè risolvendolo mi viene $ A = 79 $ (e torna). $B=76$ (e probabilmente è corretto). $C=662$ che mi sembra incredibilmente sballato.
grazie
Ho trovato anche questa pagina (non sapevo di usare il teorema della decomposizione di Hermite, non era stato chiamato così negli appunti):
http://www.batmath.it/matematica/a_prim ... mposizione
Tra la tua spiegazione e la loro ho capito la disposizione.
Visto che sei online e rispondi velocemente ti chiedo 1 altra cosa:
Ho questo esercizio (i numeri sembrano brutti, ma sono corretti).
$ (79x^2 -240x + 194) / (x^3-6x+12x-8) $.
il Denominatore è $ (x-2)^3 $ giusto? In questo caso devo procedere così? :
$ (79x^2 -240x + 194) / (x^3-6x+12x-8) = A/(x-2) + B/(x-2)^2 + C/(x-2)^3 $ ??
perchè risolvendolo mi viene $ A = 79 $ (e torna). $B=76$ (e probabilmente è corretto). $C=662$ che mi sembra incredibilmente sballato.
grazie
Il procedimento è giusto...ma non chiedermi di controllare quei calcoli 
"Lorin":
[quote="l0r3nzo"]ok, e perché nel primo esempio è stato messo sotto al numeratore $C$ ?
Se rileggi ciò che hai scritto la C dovrebbe stare "sotto al numeratore" (= al denominatore); per questo ho detto non la vedo.
Comunque se rileggi bene la mia spiegazione, capisci che quella C è messa per creare il generico polinomio di grado $n-1$, sarebbe il termine noto.[/quote]
Comunque il perché del numeratore con una sola lettera l'avevo capita.
Ciò che, nonostante tutto, mi lascia perplesso è vedere nel primo esempio al numeratore la C e sotto (x-1) mentre nel secondo esempio la lettera A al numeratore ha come denominatore x-1. Quel che mi domando io è:
"Se nel primo esempio avessi fatto: $A/(x-1) + (Bx + C)/(x^2+1) $ era la stessa cosa o no?
"Lorin":
Il procedimento è giusto...ma non chiedermi di controllare quei calcoli
ok mi interessava sapere solo questo, grazie
le lettere sono arbitrarie...avrei potuto anche scrivere $(tizio)/(x-1)+ ((Caio)x+(Sempronio))/(x^2+x+1)$ 
"Lorin":
le lettere sono arbitrarie...avrei potuto anche scrivere $(tizio)/(x-1)+ ((Caio)x+(Sempronio))/(x^2+x+1)$
capito! grazie mille
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