Integrale con Delta di Dirac
Salve a tutti,
desideravo avere un chiarimento su come si svolge un integrale:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \frac{x}{\left | x \right |} dx\).
La proprietà che vorrei sfruttare è proprio data dalla definizione della Delta di Dirac:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - x_{0})f(x)dx = f(x_{0}) \)
Non posso però applicare direttamente questa formula, dato che ho la funzione valore assoluto al denominatore, al quale non posso sostituire direttamente il valore 0. Ovviamente correggetemi se sbaglio....
La prima cosa che ho pensato è stata quella di spezzare l'integrale nel seguente modo:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \frac{x}{\left | x \right |} dx = -\int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx +\int_{0}^{\infty} \delta(x) dx \)
i ritrovo ora a fare l'integrale della Delta in un intervallo non simmetrico. Per valutarlo posso utilizzare la funzione Theta di Heaviside. So infatti che \(\displaystyle \frac{d}{dx}\theta (x) = \delta (x) \)
Per gli integrali scritti prima ho dunque:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx = \theta(0) - \theta(-\infty) = \theta(0) = \frac{1}{2} \) (dato che molti testi riportano questo valore per \(\displaystyle \theta(0) \)).
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(x) dx = \theta(\infty) - \theta (0) = 1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
Ovviamente quello che sto facendo è trattare la funzione Theta come una distribuzione, in modo che la sua derivata sia definita in tutto il l'asse reale. Conclundendo però si ottiene che l'integrale totale è nullo.
Per WolframAlpha, invece, vedo ad esempio che \(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx = 1 - \theta(0) \)
Non riesco proprio a spiegarmi questo risultato.
Quello che inoltre mi fa insistere nella mia tesi è che la normalizzazione della Delta viene ottenuta in modo corretto utilizzando la "funzione" (messo tra virgolette dato che, come accennato prima, la utilizziamo come una distribuzione e non come una vera funzione) Theta:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = \int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx + \int_{0}^{\infty} \delta(x) dx = \theta(0) + 1 - \theta(0) = 1\)
Potreste darmi una mano?
Grazie molte di tutto.
Buona serata
Enrico
desideravo avere un chiarimento su come si svolge un integrale:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \frac{x}{\left | x \right |} dx\).
La proprietà che vorrei sfruttare è proprio data dalla definizione della Delta di Dirac:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - x_{0})f(x)dx = f(x_{0}) \)
Non posso però applicare direttamente questa formula, dato che ho la funzione valore assoluto al denominatore, al quale non posso sostituire direttamente il valore 0. Ovviamente correggetemi se sbaglio....
La prima cosa che ho pensato è stata quella di spezzare l'integrale nel seguente modo:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \frac{x}{\left | x \right |} dx = -\int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx +\int_{0}^{\infty} \delta(x) dx \)
i ritrovo ora a fare l'integrale della Delta in un intervallo non simmetrico. Per valutarlo posso utilizzare la funzione Theta di Heaviside. So infatti che \(\displaystyle \frac{d}{dx}\theta (x) = \delta (x) \)
Per gli integrali scritti prima ho dunque:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx = \theta(0) - \theta(-\infty) = \theta(0) = \frac{1}{2} \) (dato che molti testi riportano questo valore per \(\displaystyle \theta(0) \)).
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(x) dx = \theta(\infty) - \theta (0) = 1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
Ovviamente quello che sto facendo è trattare la funzione Theta come una distribuzione, in modo che la sua derivata sia definita in tutto il l'asse reale. Conclundendo però si ottiene che l'integrale totale è nullo.
Per WolframAlpha, invece, vedo ad esempio che \(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx = 1 - \theta(0) \)
Non riesco proprio a spiegarmi questo risultato.
Quello che inoltre mi fa insistere nella mia tesi è che la normalizzazione della Delta viene ottenuta in modo corretto utilizzando la "funzione" (messo tra virgolette dato che, come accennato prima, la utilizziamo come una distribuzione e non come una vera funzione) Theta:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = \int_{-\infty}^{0} \delta(x) dx + \int_{0}^{\infty} \delta(x) dx = \theta(0) + 1 - \theta(0) = 1\)
Potreste darmi una mano?
Grazie molte di tutto.
Buona serata
Enrico
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo