Integrale con cosh(x) ed exp

[simki]

Ciao a tutti, tentando di risolvere il seguente integrale indefinito
$ int (1+e^(-x))/(cosh(x)) dx $ (dove con $cosh(x)$ intendo il coseno iperbolico)
riscrivo l'integrale nella seguente forma equivalente (giusto?)
$ int (1+e^(-x))/((e^x+e^(-x))/(2)) dx = 2int (1+e^(-x))/(e^x+e^(-x) $
ecco, a questo punto scelgo di risolvere per sostituzione ed ottengo due risultati diversi a seconda che io scelga di porre
$ t = e^x $ oppure $ t = e^(-x) $
Sono tutte e due corretti? Com'è possibile che ottenga risultati differenti?
I risultati che ottengo sono i seguenti:
$ t = e^(-x) -> -2 arctan(e^(-x)) - log(1 + e^(-2 x)) + c $
$ t = e^x -> 2 x + 2 arctan(e^x) - log(1 + e^(2 x)) + c $

[pilloeffe]

Ciao simki,

"simki":Sono tutte e due corretti?

Sì, infatti derivandoli in entrambi i casi si ottiene $ frac{2(1+e^x)}{e^{2x} + 1} = frac{2(1+e^{-x})}{e^{x} + e^{- x}} $

"simki":Com'è possibile che ottenga risultati differenti?

Tutto è possibile, beh ad esempio salta subito agli occhi la relazione $arctan(y) + arctan(1/y) = \pi/2 $ per $y > 0 $, ove nel tuo caso $ y := e^x > 0 $
Poi $ - log(1 + e^{-2x}) = - log[e^{-2x}(1 + e^{2x})] = - [log e^{-2x} + log(1 + e^{2x})] = 2x - log(1 + e^{2x}) $

[simki]

Grazie mille.