Integrale con coordinate sferiche
Ciao, ragazzi! Avrei un altro integrale triplo da sottoporre a chi ha voglia di divertircisi...: $\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz$ per $V={(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=1, z=>0}$ dove V mi sembrerebbe molto semplicemente una semisfera di raggio 1 che giace sul piano z=0.
Quindi calcolerei, sostituendo con coordinate sferiche (chiamo $\theta$ la distanza angolare rispetto all'asse delle z, $\phi$ quella dall'asse delle x e $\rho$ il raggio) e tendo conto del fatto che $\int \rho^5d\rho=1/6\rho^6+C$ e $\int sin^3\thetacos\thetad\theta=1/4sin^4\theta+C$:
$\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz=\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}(\rho^2sin\theta)\rhocos\theta(\rho^2sin^2\theta(cos\^2phi+sin^2\phi))d\rho)d\phi)d\theta=$
$\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}\rho^5sin^3\thetacos\theta d\rho)d\phi)d\theta = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}1/6sin^3\thetacos\theta d\phi)d\theta = \pi/3\int_{0}^{\pi/2}sin^3\thetacos\theta d\theta = \pi/12$.
Il mio testo dà come risultato $\pi/2(1-sin1)$, che non so da dove provenga...
Che cosa ne dite!!!
Grazie infinite a tutti quanti!!!
Davide
Quindi calcolerei, sostituendo con coordinate sferiche (chiamo $\theta$ la distanza angolare rispetto all'asse delle z, $\phi$ quella dall'asse delle x e $\rho$ il raggio) e tendo conto del fatto che $\int \rho^5d\rho=1/6\rho^6+C$ e $\int sin^3\thetacos\thetad\theta=1/4sin^4\theta+C$:
$\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz=\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}(\rho^2sin\theta)\rhocos\theta(\rho^2sin^2\theta(cos\^2phi+sin^2\phi))d\rho)d\phi)d\theta=$
$\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}\rho^5sin^3\thetacos\theta d\rho)d\phi)d\theta = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}1/6sin^3\thetacos\theta d\phi)d\theta = \pi/3\int_{0}^{\pi/2}sin^3\thetacos\theta d\theta = \pi/12$.
Il mio testo dà come risultato $\pi/2(1-sin1)$, che non so da dove provenga...
Che cosa ne dite!!!
Grazie infinite a tutti quanti!!!
Davide
Risposte
Perche' solo la semisfera z>0 ?
Uh, scusatemi, ho dimenticato di aggiungere la condizione $z>=0$. La aggiungo nel post originale. Grazie tantissime, Quinzio!
"DavideGenova":
Ciao, ragazzi! Avrei un altro integrale triplo da sottoporre a chi ha voglia di divertircisi...: $\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz$ per $V={(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=1, z=>0}$ dove V mi sembrerebbe molto semplicemente una semisfera di raggio 1 che giace sul piano z=0.
Quindi calcolerei, sostituendo con coordinate sferiche (chiamo $\theta$ la distanza angolare rispetto all'asse delle z, $\phi$ quella dall'asse delle x e $\rho$ il raggio) e tendo conto del fatto che $\int \rho^5d\rho=1/6\rho^6+C$ e $\int sin^3\thetacos\thetad\theta=1/4sin^4\theta+C$:
$\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz=\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}(\rho^2sin\theta)\rhocos\theta(\rho^2sin^2\theta(cos\^2phi+sin^2\phi))d\rho)d\phi)d\theta=$
$\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}\rho^5sin^3\thetacos\theta d\rho)d\phi)d\theta = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}1/6sin^3\thetacos\theta d\phi)d\theta = \pi/3\int_{0}^{\pi/2}sin^3\thetacos\theta d\theta = \pi/12$.
Il mio testo dà come risultato $\pi/2(1-sin1)$, che non so da dove provenga...
Che cosa ne dite!!!
Grazie infinite a tutti quanti!!!
Davide
Dai passaggi mi sembra di capire che hai posto
$ sin(x^2+y^2) = (\rho^2sin^2\theta(cos\^2phi+sin^2\phi)) $
Non vorrei aver capito male io, ma non sono d'accordo.
Accidenti, avevo perso per strada il sin!
$\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz=\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}\rho^3sin\thetacos\theta sin(\rho^2sin^2\theta) d\rho)d\phi)d\theta$ che diventa piuttosto complicato da calcolare...
Mmh chissà se si possono applicare delle coordinate cilindriche (dove direi che $x^2+y^2=r^2$) e dove $0<=r<=z$ piuttosto che sferiche...
$\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz=\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}\rho^3sin\thetacos\theta sin(\rho^2sin^2\theta) d\rho)d\phi)d\theta$ che diventa piuttosto complicato da calcolare...
Mmh chissà se si possono applicare delle coordinate cilindriche (dove direi che $x^2+y^2=r^2$) e dove $0<=r<=z$ piuttosto che sferiche...
@Davide: Quando devi scrivere una formula molto lunga, è meglio se la spezzi e vai a capo manualmente: il parser infatti considera le formule come indivisibili e obbliga a scorrere lateralmente la pagina con grande perdita di leggibilità. Mi sono permesso di modificare il tuo primo post (e il successivo quote di Quinzio) aggiungendo un "a capo" a metà della tua formula, spero non ti dispiaccia.
No, anzi, grazie, Dissonance!
Nel frattempo ho semplificato l'integrazione ricorrendo a coordinate cilindriche:
$\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz = \int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}(\int_{0}^{sqrt(1-r^2)}zsin(r^2)r dz)dr)d\phi = 2\pi\int_{0}^{1}(1-r^2)/2sin(r^2)rdr=\pi/2(1-sin1)$
dove ho trovato solo integrali esprimibili in termini di funzioni elementari.
Grazie a tutti per gli spunti che mi avete dato per risolvere questo integrale ed altri!
Ciao!!!
Nel frattempo ho semplificato l'integrazione ricorrendo a coordinate cilindriche:
$\int\int\int_{V} zsin(x^2+y^2) dxdydz = \int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{1}(\int_{0}^{sqrt(1-r^2)}zsin(r^2)r dz)dr)d\phi = 2\pi\int_{0}^{1}(1-r^2)/2sin(r^2)rdr=\pi/2(1-sin1)$
dove ho trovato solo integrali esprimibili in termini di funzioni elementari.
Grazie a tutti per gli spunti che mi avete dato per risolvere questo integrale ed altri!
Ciao!!!
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