Integrale con coefficiente binomiale

[poncelet]

Un amico che studia statistica, mi ha proposto questo integrale:
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}p^{x}(1-p)^{n-x}dp
\]

dove \(n\) e \(x\) sono fissati. Io avevo di sviluppare l'integranda in questo modo:
\[
p^{x}(1-p)^{n-x}=p^{x}\sum_{k=0}^{n-x}(-p)^{k}=\sum_{k=0}^{n-x}{n-x \choose k}(-p)^{k+x}
\]

ottenendo
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}p^{x}(1-p)^{n-x}dp=\sum_{k=0}^{n-x}{n-x \choose k}\frac{(-\frac{1}{2})^{k+x+1}}{k+x+1}
\]

E' giusto? Si può in qualche modo semplificare?

[hamming_burst]

Ciao Max,
posso chiederti da che argomento di Statistica in particolare deriva?
Assomiglia un po' alla v.a. Binomiale per $k$ successi prefissati, ma l'integrale mi sembra un po' troppo essendo a valori discreti la v.a.

[poncelet]

Devo dire che non so risponderti, mi ha solo estrapolato l'integrale che non riesce a risolvere. Solo che il risultato proposto dalla dispensa non assomiglia molto a questo.

[hamming_burst]

Ma scusa se $n$ ed $x$ sono fissati non puoi passare per Newton proprio perchè hai già un valore, caso contrario se $n$ fissato ed $x$ no.

EDIT:
ho visto ora, scusa il $k$ di solito lo metto al posto della $x$ e mi ha fuorviato la notazione.

[poncelet]

Ho dimenticato che di dire che \(n\) e \(x\) sono interi con \(n \geq x\). Non so se può aiutare.

[hamming_burst]

Vedi se ti è di aiuto, è un punto di partenza (da rimodellare con $a,b$ interi)): Incomplete Beta Function